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 il faut appliquer des substitutions correspondantes auxquelles on donne le 

 nom deconligiiës. Dans le cas actuel, nous montrons que ces substitutions 

 sont toujours compiises dans les substitutions suivantes : 



X = -r 4- Ij, Y = j-, où 1 = ± ] , dz i, ± i ± i, 



ou enfin la substilulion obtenue en faisant suivre la première d'une des 

 secondes. 



» Ceci posé, indiquons rapidement la marche du calcul; nous partons 

 d'une réduite/, et soit (f la forme définie correspondante qui est réduite 

 pour certaines valeurs des paramètres. Quand cette forme cessera d'être 

 réduite, nous connaissons, d'après ce qui vient d'être dit, des substitutions 

 parmi lesquelles se trouvent celles qui peuvent la réduire de nouveau. En 

 effectuant ces substitutions sur y, nous avons de nouvelles formes, parmi 

 lesquelles nous ne conserverons que cel les dont les coefficientssont inférieurs 

 aux limites fixées précédemment; nous les appellerons formes conligu'és à 

 /i Nous opérerons sur chacune de ces formes comme nous avons opéré sur/, 

 et nous continuons ainsi jusqu'à ce que le procédé ne nous donne plus de 

 nouvelles formes, ce qui doit arriver nécessairement, puisque le nombre 

 des réduites est limité. Nous arrivons donc ainsi à un nombre fini de formes. 

 Soit, parmi celles-ci, une suite 



jij\ijii • • î J lit J 



commençant et finissant par/^ et telle que chaque forme soit contiguë à la 

 précédente. Si 3, 1,, • • •» '^n sont les substitutions permettant de passer 

 d'une forme à la suivante, il est clair que la substitution 



V V V 



'Il ^n- 1 • • • " 



transformera en elle-même la loruiey, et de plus on établit que toute substi- 

 lulion semblable de la forme/ s'obtient en combinant les substitutions S. 

 Or le nombre des substitutions telles que S est évidemment fini, par con- 

 séquent toutes les substitutions semblables de / et par suite celles de F 

 s'obtiennent à l'aide d'un nombre fini de substitutions fondamentales. On 

 pourra d'ailleurs calculer toutes les substitutions S et, par suite, former eftec- 

 liveaient un certain nombre de substitutions à l'aide desquelles toutes les 

 antrts pourront être obtenues. Toutefois le calcul, tel que nous venons de 



