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 l'indiquer, ne donnera pas nécessairement le moindre nombre de substitu- 

 tions fondamentales. 



» Remarquons, en terminant, que les considérations précédentes per- 

 mettront de reconnaître si deux formes indéfinies F sont équivalentes, et 

 qu'elles donnent aussi ime méthode pour résoudre en nombres entiers 

 l'équation 



XX, — I)J7„ = T , 



qui est, comme on voit, une généralisation de l'équation de Pell. » 



THÉORIE DES NOMBRES. ~ Lois des identités entre les réduites des deux modes,' 



par M. E. DE JONQCIÈRES. 



« XVI. Théorème XXVI (fondamental). — Chaque fois qu'un terme 

 qualifié (algébrique ou générique) se présente dans la période de Lagrange, 

 une coincidence a lieu entre les réduites des deux modes, au rang qui précède 

 immédiatement celui-là. 



» Les mêmes coincidences se présentent, aux mêmes rangs, dans toutes les 

 périodes successives. 



» Donc, si l'on désigne par /, i, , io, i}, ■ ■ ., /,, . . . , i^, i-i, i, , / les nombres 

 (symétriques par rapport aux extrêmes) des quotients dont se composent, 

 respectivement, les séquences successives, il se présente des coïncidences 

 prévues et certaines : 



» 1° Aux rangs/, (?-t-/| + i), (/+/, -i-?2 + 2), ..., (?-t-/, +?. + ... H- zV-l-r), ..., 

 2(/ + i, -h /.>-!-... -h i,.-h r), et au dernier terme de la période; 



» 2" Aux rangs qui précèdent l'avant-dernier terme de la période et tous 

 les autres termes génériques, respectivement. 



» Ces coincidences fondamentales dérivent, comme celle qui a lieu au 

 rang /(théorème XIX) et par des motifs semblables, de l'intervention, répétée à 

 chaque séquence, des quotients obtenus dans les opérations successives de 

 la recherche du plus grand commun diviseur entre les nombres mentionnés 

 plus haut (XI). 



« Corollaire. — Le groupe (E,) a toujours six coïncidences aux rangs /, 

 /+ I, / + 2; 2/+ 2, 2i-h 3, 2/ + 4 (IX). 



» XVII. Les nombres /,, i^, ... étant nuls dans le groupe (E, ), le 

 nombre des coïncidences y est toujours de quatre (VIII), dont l'une 

 occupe le rang/, et les trois autres les trois dM'iiiers rangs de la période. 



