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 Ces deux dispositions-types se rencontrent dons tous les autres groupes (E^), 

 sous les conditions définies comme il suit : 



» Théorème XXVII. — Da7is les groupes {E,i), les coïncidences sont tantôt 

 isolées, tantôt groupées par trois. La période se termine toujours par une triade 

 de coïncidences. 



a Jamais deux coïncidences consécutives ne se présentent sans être précédées 

 ou suivies d'une troisième au moins. S'il y en a plus de trois consécutives, toutes 

 coïncident. 



» Ce dernier cas est celui de toutes les familles où d divise exacte- 

 ment 2a. 



» Enfin une coïncidence isolée, ou celle qui occupe le troisième rang dans une 

 triade, est séparée de la plus voisine de celles qui viennent après elle par deux 

 réduites au moins, non coïncidentes. 



» Ceci résulte de ce que le nombre des quotients dans l'opération de la 

 recherche du plus grand commun diviseur ne peut, dans laprésente théorie, 

 être pair, ni, s'il surpasse un, êlre moindre que trois. Le cas où il est égal 

 à un sera examiné un peu plus loin (XIX). 



» XVIII. Il résulte aussi de ce qui précède que : 



» Théorème XXVHI. — Le nombre total des coïncidences de réduites dans 

 un groupe (E^), quel que soit l'indice de ce groupe, est en général pair, et 

 jamais inférieur à quatre. Il n'est impair que dans lajamille déterminée par la 

 valeur initiale de a correspondante à X = i et si s est négatif [\ïll). 



» Lorsque le nombre des coïncidences est impair, quelqu'une des ré- 

 duites du second mode n'a pas de correspondante dans le premier mode; 

 mais ces réduites non coïncidentes ne troublent jamais l'existence de la 

 triade finale; cette triade ne fait jamais défaut. 



» XIX. Le théorème XXVII a pour conséquence que : 

 » Théorème XXIX. — Les réduites non coïncidentes ne sont jamais isolées, 

 et si deux coïncidences fondamentales se présentent à deux j^angs d'intervalle 

 l'une de l'autre, il y a aussi coïncidence pour la réduite intermédiaire. 



» Celle-ci offre un caractère singulier, comme on va le voir (XX); mais, 

 avant d'aller plus loin, il n'est pas inutile de remarquer que le nombre 

 des coïncidences dépend de V espèce du groupe (E,;) et non de la longueur 

 absolue de la période. Quelque longue que soit celle-ci, les coïncidences 

 n'y sont jamais qu'au nombre de quatre si c'est un groupe (E,), de six si 

 c'est un groupe (Ej), de 2d si c'est un groupe (E„). 



» XX. Les fractions convergentes du second mode, dont les deux termes 



