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ont le diviseur commun d (le seul qu'ils puissent avoir), jouissent de la 

 propriété suivante : 



» Théorème XXX. — Toute fracLion converqenle ~ du second mode, qui est 



réductible, devient, après quelle a été ramenée à sa jorme de réduite, identique 

 avec l'une des réduites du premier mode, (pu esl, invariablement, la médiane 

 d'un groupe ternaire. 



'1 Réciproquement : 



» TiiÉORÈRiE XXXI. — Si trois réduites consécutives du premier mode cdin- 

 culenl avec trois réduites du second, la médiane du groupe, dans ce dernier 

 mode, avait ses deux termes divisibles par d avant d'avoir été réduite. 



» I es deux propriétés qu'on vient d'énoncer coexistent avec la suivante, 

 dont elles ne sont, au fond, qiie la conséquence : 



» Théorème XXXII. — Toutes les Jois qu'une triade de coïncidences se 

 présente dans, un groupe (Ej), te terme de la période de Lagrange, duquel dérive, 

 dans le premier mode, la troisième réduite de la triade, est toujours un nuiltiple 

 de (l, savoir lad, si la triade occupe le milieu de la période, et 2acl[i' -\- kd), 

 si elle la termine. Dans le piemier cas, ce terme est encadré entre deux termes 

 algébriques; dans le second, entre deux termes génériques. 



» Le groupe (E,) est toujours dans le premier de ces deux cas, mais il y en 



a d'autres: ainsi, dans le genre E = (5X — i )« -i- 5«, dont 4" + Sn est la 

 famille initiale (X = i), le groupe (E4), déterminé par i' = 4< ^ une pé- 

 riode composée de vingt-six termes, savoir (en n'écrivant que les treize 

 premiers) : (2X — 1), 1,1, i, 1, [2ak -\- 5), i, 4, ' ? 2, 2, (aa/i -t- 6), 

 2rt(^=terme central, etc. ; le terme central arti/ y est, comme dans (Ej), 

 encadré entre deux termes algébriques (2 «A -+-/), et il possède une triade 

 de coïncidences de réiluites aux rangs 11, 12 et 1 3, en outre de la triade 

 finale. 



» XXI. Des trois théorèmes qui viennent d'être énoncés, il s'ensuit 

 que : 



( ') Cette conséquence découle elle-même de ce que, dans tous l( s groupes (E^), la frac- 

 tion continue du deuxième mode est, à cause de «=:(/(/'+ /<d]. 



.£ = a/i -\- 



■2.n(i'-h- kd) -\ 



2 « -i- . _ 



Voir ma Coiniituriicat:on du 3o avril. On a xn <t :=fa' ^=ff'a" , (/ =r /-/'«'" et rl'^^i. 

 (;. h., |KS3, i" Scmeicre. (T. \CVI, N« 32.) 2o3 



