( 1(343 ) 

 l'évaluation delà grandeur d'un terme, regarder f, comme étant du second 

 ordre, et^, du quatrième. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur des fonctions uniformes (le deux points ana- 

 lytiques qui sont laissées invariables par une infinité de transformations 

 rationnelles. Note de M. Appell, présentée par M. Bouquet. 



« M. Schwarz a démontré [Journal de Crelle, t. 87) que, si le genre 

 d'une courbe algébrique F(x, j) = o surpasse l'unité, il n'existe pas de 

 transformation rationnelle contenant un paramètre arbitraire et fai- 

 sant correspondre à un point [oc, y) de la courbe un autre point (.r,, 7",) 

 de cette courbe, de telle façon qu'au point [oc^,y^) réponde inversement 

 un seul point [x, jr). Dans le cas où le genre est égal à l'unité, il existe de 

 pareilles transformations; mais, si l'on désigne par 



l'intégrale abélienne de première espèce correspondante qui est déterminée 

 à des multiples près de deux périodes w et to', on voit facilement que les 

 seules transformations rationnelles de l'espèce considérée sont de l'une ou 

 de l'autre des formes suivantes : 



(2) M + M,^(], u — u,^C, 



où u et II, sont les valeurs de l'mlégrale (i) correspondant aux deux 

 points (x, ^), (J7|,_^i) et où le signets indique que l'égalité a lieu à des 

 multiples près de oj et de m'. U n'existe donc pas, pour une courbe de 

 genre i, de fonctions uniformes d'un point analytique [x,y) qui ne changent 

 pas quand on fait sur le point [x, j") une infinité de transformations ra- 

 tionnelles de l'espèce considérée; cela résulte de ce que les substitutions 

 rationnelles correspondant aux relations (2) forment ou bien un groupe 

 fini ou bien un groupe contimi. 



» Mais nous allons montrer, par un exemple, qu'il existe, pour une 

 courbe du premier geure, des fonctions de deux points analytiques [x,j), 

 [x',y) qui ne changent pas de valeur quand on remplace les deux points 

 [x, y), [x',y) par deux autres points (.r,, j,), [x\,y\) déduits des pre- 

 miers à l'aide d'une transformation ratioiuielle réversible ('). Soient u, 



(' ) C'est-à-dire que, les deux points ( x, j), [x' , f) étant supposés connus, les coordon- 



