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II! , u,, u\ les quatre valeurs de 1 intégrale (i) correspondant respective- 

 ment aux quatre points {x,)'), {x',y), (j:,,j,), {x\,f\). Posons 



(2) 



2 7!i , ,, 



w 

 li {u—.a]H{u'— a ) 

 H{u-~b)ii(u'— b) 



=: e 



H désignant la fonction de Jacobi formée avec w et w', a elb des constantes. 

 Les deux points [x, j), [x', y') étant donnés, z q\. t prennent des valeurs 

 de la forme 



, ^ > . , w'/ ^ . 2 to'tt [a — b]i 

 (3) z -\- :iinni + 211171 — ■> t+-inni-\ ^ ■> 



m, m', Il désignant des entiers. Réciproquement z el i élant donnés, les 

 points (a", J-), [x' , y) sont entièrement délerminés et ne changent pas 

 quand ou remplace z et t par des expressions de la forme (3). Le calcul 

 (le {x,j)^ [x' , y) en fonction de z e\ t constitue un problème d'inver- 

 sion qui a été traité par Rosenbain dans son Mémoire couronné en i85ï. 

 Posons de même, en désignant par w" une nouvelle constante, 



6J 



\u^ -f- il 



■ 1 y 



H("i— a]^[ti.\ — a] _ , + .„■■ 

 H(«, — 6)H(î<', — 6j 



» Ces relations (2)el (4) déterminent le couple de points (x,,j',)(a-', , y ^ 

 quand le couple (a7, j;)(j:', j') est connu, et inversement; elles définissent 

 une transformation rationnelle réversible entre ces deux couples de points. 

 En effet, si l'on élimine z, / et d^ entre les relations (2) et (4), on obtient 

 une équation dont le premier membre est une fonction doublement pério- 

 dique par rapport à chacune des trois variables «, «' et «, ; ce premier 

 membre est, par suite, une fonction rationnelle de (x,j), (a;',/'), (a;,,/,), 

 et, en y considérant le point (a;,,^, ) comme seul variable, on voit qu'il 

 s'annule en deux points (^1, j',), {x ^^ j ^) qui forment le couple de points 

 correspondant à (j?, ;'), (j:', y). 



)) Cela posé, soit y(s, ^) une fonction uniforme des deux variables 2 et 



nées (les deux autres points (.t], j,), (r',,.}',) sont déterminées par des équations du second 

 degré ayant pour coefficients des fonctions rationnelles de(.r,.)), (.i',j-'); et réciproquement. 



