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 dans son Mémoire sur les courbes du premier genre {Journal de Crellc, 

 t. 64). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions uniformes. Note 

 de M. J. Farkas, communiquée par M. Yvon Villarceau. 



« Dans une Note bien connue [Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 20), 

 M. Picard a montré qu'une fonction entière qui ne deviendrait jamais 

 égale ni à l'une ni à l'autre de deux valeurs finies serait une constante. 



» Désignons par u une fonction uniforme de z n'admettant qu'un nombre 

 fini de discontinuités essentielles 



et, pour simplifier les expressions, appelons valeurs exceptionnelles les va- 

 leurs dont la fonctionne peut prendre aucune que dans un point singu- 

 lier essentiel. Je me propose de montrer que la fonction u ne peut avoir 

 plus de deux valeurs exceptionnelles. 



» Supposons, en effet, a, b et c des valeurs exceptionnelles de la fonc- 

 tion u. Posons 



c — b u — a 

 c — a u — b 



La fonction v a les valeurs exceptionnelles o, i, co et, en vertu de la troi- 

 sième de ces valeurs, elle n'admet d'autres discontinuités que des points 

 singuliers essentiels, ceux de la fonction u. Quand z décrit une courbe 

 fermée, la variation des arguments des deux fonctions p et i — v' est égale 

 à zéro, parce que les fonctions 



n'ont pas de pôles. Ainsi, en posant x := v dans la fonction désignée par u 

 dans la Note de M. Picard, nous avons 



&) 



où s est une fonction uniforme de z, n'ayant d'autres discontinuités que 

 les points singuliers essentiels a de la fonction u. On a donc 



. = G„(z) + G.(^^^^;)+...-i-G„(^^), 



où les fonctions G,„(/) sont des fonctions entières de t. 



