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 M Désignons par ,j une valeur différente des a, telle que l'on ait 



En écrivant 

 on obtient 



» = i + p, 



s = H. |i) + H, [,---ï^^] H- . + H„ [r:r,y--i:,-J' 



où les fonctions H„(i) sont des fonctions entières de t. 



» La partie imaginaire de la fonction s doit rester comprise entre i2kn 

 et /(2A- + i)7r [voir la Note de M. Picard); donc la partie imaginaire de 

 s — iakn = G doit rester comprise entre o et in. Or la fonction a est de la 

 forme 



m = » m — cr- 



OÙ p. est un nombre entier positif, différent de zéro, et les A et y sont des 

 constantes. Posons 



Les pv et $v sont des fonctions de p et de 6; mais, si p est plus grand qu'un 

 nombre donné, les p^ et d^ sont très petits et, avec l'accroissement de p, 

 les quantités p^ et 9.^ décroissent constamment. 



» Supposons la valeur de telle que la somme 



sinfji(5 + e„ + 9„,i,.) -4- . . .-t- /^-'^ sin^(9 + 5„ + 5„.^) = S 



soit différente de zéro. On peut assigner un nombre fini p', tel que l'on 

 ait, pour toute valeur de p supérieure à p', 



Pn^i I 



rj ■ 



. . ^ ip 



Alors la partie imaginaire de la fonction a est positive ou négative, suivant 

 que la somme S est de valeur positive ou négative. Supposons la quantité S 

 positive. Comme, dans le cas d'un p assez grand, les quantités 9,, sont 

 aussi petites qu'on le veut, et cela, quelle que soit la valeur de i9; en écri- 

 vant 5 + 7T au lieu de Q, la série S change de signe et la partie imaginaire 

 de (7 devient négative: elle ne peut donc pas rester comprise entre o et in. » 



