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» r,n première de ces relations fournit la décomposition de [q), pénin- 

 variant simple pour le cinquième ordre, en péninvariants simples relatifs 

 au sixième; remplaçant [(j) par sa valeur dans la cinquième des rela- 

 tions (5), on obtient, pour définir S, la syzygie 



(8) n's = «*(A/i + 27=) -iHiihu' - '5nh'- \2h-q. 



K Si maintenant on définit U" comme le jacobien de S et de U, il viendra 



u" = j, , 

 et, par suite, 



(9) luî' = kn — h'q + Ci[r)^ 



ce qui donne la décomposition de (/j et conduit à la syzygie 



(10) u-u" =^ u[kji — /i'^; -+- i-ihp — iSnu'. 



» Prenons pour invariant B le catalecticant de M. Sylvesler. On sait 

 qu'alors l'invariant quadratique de Q est égal à -^^(A-— 36B). Formant 

 cet invariant au mo\en des coefficients de Q (ibrmule 6), l'égalant à 

 ■jL-(A*— 36B) et réduisant au moyen des relations (5), on trouve 



(11) u^ — ku' - [p], 



ce qui donne la décomposition de { p), et conduit en même temps, pour 

 définir B, à la syzygie 



(12) "iii^ ^ = u{'i kJi' — iqs) -\- q^ — 27 ?t'- — 3hq'-h 2A//7. 



» L'expression complète de S étant, en vertu de (■7) et de (9), 



(i3) S = sx^ + u"xr+ [u{kq — q) -hs]y\ 



si l'on opère avec S sur Q, et qu'on désigne le résultat par 2A J — 65', on 

 obtient, pour définir S', la syzygie 



(i4) 3^/^' = (A*-36B)/i + 36^<'i A- q{T>q' - l^kq) ~ uks. 



» Il serait trop long de donner ici jusqu'au bout les détails de la marche 

 suivie; je dois seulement indiquer, avant d'écrire les groupes de formules 

 obtenus, quelle définition j'ai été conduit à adopter pour chacune des 



