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 ci-dessus, former un invariant ou covariant composé cl'a|)rès sa seule défi- 

 niJioi), il sera le plus souvent nécessaire d'employer en outre quelques-unes 

 des cent-cinq syzygies qui donneraient l'expression de tous lis carrés et pro- 

 duits deux à deux des péninvariants gauches en fonction des seules formes 

 droites. Quatre de ces syzygies ont déjà été écrites plus haut [formules (5)]; 

 voici, parmi les autres, celles qui se présentent le plus fréquemment (') : 



nh" = 7r{-2\Mi - n's) 4- Hh{iqs — Am')+ ah^q' — Aq), 

 iip = u-{u'q — 'jhs) + i^^Zi(Â/^ — q') — 6h-n', 

 ?iu" = — 2 «■* B + ?«^ ( A «' — 7^ ) -I- 2 uh{Aq ~ q') — [\lrs, 



h'h"=: — {ys- + u{r,khs + lq-s - hs') + 2hq[q' — kq), 



h'u" = u-s' + 2u[\q---qq' — 'iu's) — l\hqs, 



li'q" = ii[qs' — q' s) + iq{kq- — qq' -^ "iu's), 



h',i"'^-l^tâ?,s + n[iii'[2ks~?,s')-{-q'{q' — kq)-2qs-] + -2hq[ks-s'), 



h"- = - uu's' + h{u'{ks - ?>s') - k^q-], 

 h"p = iiq{ilàh -+- n's) -+- 'ihii'{q' — Aq), 

 \h"n"=- 2u-Bs -+- u[\ u' s ^.- CiC -^ liAB) h - qs-] - 

 (24) \h"u"'=^ h{q' - Aq){s' - As)-^ u-B{As + 'is') 



-u[3u'{s"-h i2B:f) + (AC-h 2À^B-24B2 

 p-=- u-'Bh + im'{Ah -q')- ghii", 

 u"p = 2M^B7 + u[hs' + q'^s — Au'q) — Gfiu's, 

 n"'p ^ + 3J?u'{As - s') + 2;r B(A7 - q') 



-+- u[{q' — Aq){2hu' — qs) -+- liB{3u'q — hs) 

 u"-= - u-[3C -h l[AB)-h^us{Aq — q') - l^hs-, 



u"u"'= + 2fis{As -/)-+- î/"(AC + A-B + laB^) 



-^u[Aq's-hqs"-2s'- ( A" + 4B)f/* + 3(3C -^ 4 AB)«'], 



m"«= ?/[i-(A* + 5'j -q'{s"-^8Bs) +4(C+ AB)fy.ï 



- 12 (AC + A-B + i2B^)m'] - h{As - s'y. » 



■2]is{q' — A7), 

 \- hs" -h 2u's^], 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une formule de Lagrange déjà généralisée 

 par Cauchy. Nouvelle généralisation. Note de M. Em. Barbier. 



« 1 . Lagrange a donné dans son Mémoire sur les Pyramides un théorème 

 qu'il est permis de traduire ainsi, par une identité dont le sens n'est dou- 



( ' ) Elles s'obtiennent aisément de proche en proche, par la même méthode que les syzy- 

 gies de même nature relatives au cinquième ordre. 



C. R., 1883, V Semestre. (T. XCVI, N« 26.) ^38 



