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C et D étant deux paramètres complexes arbitraires, assujettis seulement 



à la relation 



DDo-CC„=i. 



» Je voudrais indiquer rapidement aujourd'hui avec quelle facilité peut 

 s'effectuer la réduction continuelle de la forme $, en faisant usage des 

 représentations géométriques suivantes. Supposons que la forme f soit 

 réduite; la forme $ sera alors réduite pour certaines valeurs de C et D, et, 

 en écrivant 



$ = axx^ -f- (m + «O-^Jo + ('" — «O-CnJ + <?7Toi 

 on a les cinq inégalités qui expriment que la forme est réduite : 

 rt<<c, inK^a, — 2in <i a, o.n<^a, — 2ti<^a. 

 La première inégalité sera ici 



(CCo+ DD„)(a«„ + 7v„ - fi/3„ - 55o) 



+ 2(a7o - rio„)CD, + 2(a„v - |3o5)C„D < o. 



» Posant maintenant - = 2, on pourra mettre la condition précédente 

 sous la forme 



(^1-0+ i)(aao+ 77o - A^o - o^o) + 2z(a7„ - /35o) + 2Zo(«o7 - F^o^X o- 



Or, en égalant à zéro le premier membre de cette inégalité, on obtient, 

 dans le plan de la quantité complexe z, l'équation d'un cercle qui coupe 

 orthogonalement le cercle de rayon un ayant l'origine pour centre. En 

 écrivant de même les quatre autres conditions, on obtient des équations 

 d'une forme toute semblable, et, par suite, la forme $ sera réduite tant que 

 le point représentant la quantité complexe z sera à l'intérieur d'un poly- 

 gone curviligne dont les côtés sont des cercles orthogonaux au cercle de 

 rayon un; ce polygone ne pourra d'ailleurs avoir plus de cinq côtés. 

 Quand le point z traversera un côté, la forme $ cessera d'être réduite, et 

 j'indiquerai, dans un travail plus étendu, comment, dans tous les cas qui 

 peuvent se présenter, on peut obtenir la substitution qui la réduit de nou- 

 veau. Quand le point z sort du polygone par un sommet, ce n'est plus une 

 seule forme, mais plusieurs formes conliguëà que l'on obtient alors, suivant 

 le polygone contigu dans lequel on pénètre. 



» Appliquons les considérations précédentes à la forme 



