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 grer une équation linéaire. Voici un moyen d'arriver à ce résultat. Suppo- 

 sons le problème résolu. 



» La fonction F(3) donne la représentation conforme sur un cercle 

 d'un certain polygone curviligne Ro, et l'intérieur du cercle fond;imental 

 se trouve divisé en une infinité de polygones Ro, R,, ..., tous congruents 

 ou symétriques à R„. Réunissons un certain nond^re de polygones R,,, 

 R,, . ••, I^p pour former un polygone total S. Il y aura une fonction fuch- 

 sienne cp{z) qui donnera la représentation conforme de S sur un cercle ; 

 son groupe sera contenu dans G, et nous aurons identiquement 



F = H(9), 



H étant l'algorithme d'ime fonction rationnelle. Il est d'ailleurs aisé de 

 calculer les coefficients de H quand ou connaît les nombres r7,, a^, . • -, ^n, 

 et la disposition relative des polygones Rq, R,, .. ., R^. On peut donc cal- 

 culer 9 en fonction de P. 



» On peut prendre S assez grand pour que le cercle concentrique au 

 cercle fondamental, et qui a pour rayon i — a., soit tout entier à l'intérieur 

 de S. On a alors 



mod — ^^ — > mod œ >• mod z, 



d'où 



limmodip = modi; (pour oc = o). 



» Soient z,,Z2, ..., s^ les transformées de o par diverses substitutions 

 de G; nous pourrons calculer par ce procédé modz,, mod:;^, . . ., modz^, 

 ce qui suffit pour déterminer G. 



» 2. Soit j une intégrale d'une équation linéaire à coefficients rationnels 

 en X. Dans une Noie que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, le 

 8 août i88i, j'ai fait voir que l'on peut trouver une fonction fuchsienne 

 F(z) telle qu'en substituant F(z) à la place de x, )'■ devienne fonction uni- 

 forme de z. Mais il y a une infinité de minières d'obtenir le même résultat, 

 ainsi que le prouvent les travaux ultérieurs de M. Klein et les miens. Ainsi 

 l'on peut trouver une fonction fuchsienne (p{t) plus simple que F(^), et 

 telle qu'en substituant ip(ï) à la place de j:,^ devienne une fonction uni- 

 forme de t. On aura d'ailleurs 



t = ^{z), 



<\i{z) étant une fonction imiforme de z, qui demeure inaltérée par un 



