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 groupe g formé d'une infinité de substitutions linéaires 



' li- 



» Voici un moyeu de former t en fonction de z et de démonirer, en 

 même tem|)s, au moins dans la grande majorité des cas, l'existence de la 

 fonction iy(^)- Nous aiu'ons 



logmod/ = > logmod^^^^ — 4- 

 et 



« = « 



(2) logmod< = limM„= N («« — "«-i)- 



Voici ce que c'est que i/„. Supposons queC,, Co, ..., C„ soient des con- 

 tours s'enveloppant mutuellement et intérieurs au cercle fondamental, 

 M„ sera la partie réelle d'une fonction ç)„ dont la partie réelle est nulle le 

 long deC„,et qui reste finie à l'intérieur de ce contour, excepté aux points 



où «,z 4-/5,= o, et où la différence o„ — log°^^^^ — ^^ reste finie. 



» Sauf dans certains cas exceptionnels, on peut démontrer la conver- 

 gence des séries (i) et (2). 



M 3. Les mêmes principes et le beau théorème de M. Schwarz [Motials- 

 bericlite, octobre 1870) permettent de démontrer la proposition suivante, 

 qui peut présenter quelque intérêt à cause de sa généralité : 



» Soit y =/[x) une fonction non itiiifonne de x, d'ailleurs quelconque. On 

 peut toujours trouver une variable z, telle que l'on ait 



j=^o{z), x=:6{z), 



'f et ^ étant deux Jonctions uniformes de z, n'existant (juù l'intérieur d'un 

 cercle. » 



ANALYSE M ATHÉMATiQUfi. — Sur la théorie des intégrales eulérienues. 

 Note de M. Bourguet, présentée par M. Hermite. 



« Dans une jjrécédente Communication, j'ai fait voir que P(a) = o a 

 une racine réelle dans le voisinage de chaque pôle, excepté les pôles o, 



- ', " -■■■, — 3, — 4- 



» Celte même équation a-t-elle des racines imaginaires? 



