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 binaire du sixième ordre. Je m'occupe, depuis quelque temps, du problème 

 plus général qui consisleà obtenir les syzygies fondamentales, existant entre 

 tous les invariants et covariants d'une forme binaire ou d'un système de 

 formes binaires d'ordre quelconque, et cela sans avoir recours au calcul 

 symbolique, mais en suivant la voie ouverte par iMM. Cayley et Roberts, 

 c'est-à-dire en considérant, au lieu des covariants, les semi-iiwarianls ou 

 pénbwarianis. On sait, en effet, que, un péninvariant étant donné, le cova- 

 riant dont il est la source est entièrement déterminé et calculable, terme par 

 terme, et que toute identité démontrée entre des péninvariants existe aussi 

 entre les covariants correspondants. D'autre part, on sait, par la théorie 

 des covariants associés (et il est facile de vérifier directement) que, si l'ou 

 désigne par U la forme binaire [a, h, c, ...Jx,/)", par II, H', H", ... la 

 série de ses covariants du second degré par rapport aux coefficients et 

 d'ordres successifs 2?i — 4; 2« — 8, 2?i — 12, ... par rapport aux variables 

 (le premier étant le hessien), enfin par R, K', K", ... la série des jacobiens 

 de H, H', ... et de U, on a l'identité 



) L <.2 ..2.3 



I H- "'"~'^^"~/''^'~^' (^r//-3/r)X"-'Y-+---l 



\ I .2.3.4 J 



dans laquelle u, h, h', ... désignent respectivement les péninvariants sources 

 des covariants U, H, H', . . . , et X, Y de nouvelles variables définies par 

 la substitution 



(2) x^X-bY, j = «Y, 



dont le déterminant est a, c'est-à-dire u. Il suffit donc, connaissant l'ex- 

 pression d'un péninvariant i> en fonction de a, b, c, . . . , d'y faire a = i, 

 b == o, c =^ h, d= k, e = u^h'— 3 h'-, ... , et d'égaler le résultat à v mul- 

 tiplié par une puissance de u choisie de manière à rétablir l'homogénéité, 

 pour obtenir une identité entre les péninvariants u., h, h', ... et v, et, par 

 conséquent, une syzygie entre les covariants correspondants. 



)) On arrive presque toujours ainsi à des syzygies relativement simples; 

 mais le calcul deviendrait très laborieux ou même impraticable si l'on vou- 

 lait appliquer ce procédé à des péninvariants compUqués, tels que les 

 invariants du douzième et du dix-huitième degré de la forme du cinquième 

 ordre, qui contiennent respectivement plus de deux cents et de huit cents 



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