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 formes d'une variable, liées par une relation algébrique. Soient 



x = P{z), j = Q{z) 



deux fonctions de s, uniformes dans tout le plan et ayant seulement un nombre 

 fini de points singuliers essentiels a,, a^, • . ■ , ct^'i je dis que, s il existe entre ces 

 deux fonctions une relation algébrique, le genre de cette relation doit être zéro 

 nu l'unité. 



» Mon poini de départ est dans la proposition suivante, qui résuite des 

 reclierches de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes {Comptes 

 rendus, 1882) : j' étant lié à x par la relation algébrique 



(i) J{x,)-)^o 



de genre égal ou supérieur à deux, on peut trouver une équation linéaire du 

 second ordre 



dp =?(-^'J)^' 



où y est rationnel, n'ayant d'autres points singuliers que tes points analytiques 

 œ = a, y=ih, points singuliers de l'équation (i) e/ jouissant des propriétés 

 suivantes ; si l'on prend deux intégrales convenables w, et Wji l'équation 



— = Il 



donne pour x une fonction fuclisienne de u, définie seulement dans la moitié 

 supéiieure du plan de la variable u. De plus, dans le voisinage d'un point analy- 

 tique X ^r= a, Y =^ h (y = b faisant partie d un système ciiculaire de p racines), 



le quotient — sera fonction uniforme de [x — a)'i, et nous pouvons enfin 



supposer qu'aucune des substitutions du groupe de l'équation linéaire n'est para- 

 bolique. 



» Ce résultat étant admis, je vais suivre une voie toute semblable à celle 

 que j'ai suivie autrefois dans mon Mémoire sur les fonctions entières 

 [Annales de l'Ecole Normale, 1880); seulement, au lieu de prendre le quo- 

 tient des périodes de l'intégrale elliptique considérées comme fonctions du 



module, nous allons envisager ici le quotient u —^ "■ 



» Supposons que les fonctions P(2) et Q(z) soient liées par la relation (1 ), 

 de genre égal ou supérieur à deux; eu remplaçante" par P(z) dans la fonction m, 

 on reconnaît d'abord que u est une foncliou uniforme de z dans tout contour 



