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 simple ne comprenant aucun des points singuliers essentiels n,,nn, . . . , a„. 

 Éludions la forme de la fonction ii de z dans le voisinage d'un tel point a; 

 après un tour complet autour du point a, il se change en 



Ak -t- B 



la substitution (A, B, C, D) étant une des substitutions du groupe fiiclisien 

 défini plus haut. 



» Deux cas sont alors à distinguer suivant que celle substitution est 

 hyperbolique ou elliptique, 



» i^Soit d'abord la substitution hyperbolique; on pourra trouver quatre 



quantités réelles «, |3, -y, 5, telles que _ ~ se reproduise après un tour 



complet, multiplié par un facteur positif; on tire de là qne 



-'z-a) <p{z), 



Il étant une quantité réelle différente de zéro, et'p(s) une fonction uniforme 

 dans lui certain domaine D autour du point a', nous montrons qne l'on a 



a)"'e^^'>, 



m étant un entier et / {z) une fonction uniforme dans D et continue, à 

 l'exception du pointa; par conséquent, 



'— = {z — a) ef^^^ ; 



y + 'J u 



dans le premier membre mis sous la forme ordinaire des quantités ima- 

 ginaires, le coefficient de / a un signe invariable; or on démontre qu'd 

 n'en est pas de même pour le second membre; la substitution (A, B, C, D) 

 ne peut donc être hyperbolique. 



» 2"^ Soit maintenant la substitution elliptique. On trouvera alors quatre 



quantités imaginaires «, /3, y, î5, telles que ^ se reproduise, après un 



tour complet, multiplié par inie certaine racine de l'unité, et nous pouvons 

 supposer que dans — 4 le coefficient de / est négatif, tandis qu'il est positif 

 dans — -• Ceci posé, on aura 



