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ANALYSK MATHÉMATIQUE. — Sur une question de divisibililé. 

 Note de M. C, de Poligxac. 



« Le numéro des Comptes rendus du 19 décembre i88i contient un théo- 

 rème d'Arithmétique par M. Mathieu Weill et cehii du i3 février 1882 une 

 proposition plus étendue de M. Désiré André sur le même sujet. 



» Le théorème de M. Weill consiste essentiellement en ce que le quo- 

 1.2... nx , . , . I . 1 • . . 1 1 



tient; ^5 quon sait représenter un nombre entier, est divisible par 



i .2. . .n. 



» Quel que soit l'intérêt que peut avoir la démonstration faite parles 

 procédés de l'analyse combinatoire, le théorème en lui-même donne lieu à 

 la remarque suivante : 



» La formule 



t .1.3. .11.1 

 (i) r^ = entier 



^ ' (1.2.. ..v]" 



se déduit du théorème plus général 



, , I .1.3. . .(«, -t-n^-t-. . . -l-rt„) 



(2) ■ = entier 



^ ' r .2. . .«1. 1 .2. . .«a. 1 .2. . «„ 



en faisant x = «, = «o = . . = <7„. Mais, en posant 



a, = {n — i)œ, a.,=-.x, o = a^ = . . . ^= a„, 

 on en déduirait également 



,_, 1 .2.3. . .nx 



(3) -, ; = entier. 



^ ' I . 2 . . . ( « — I ) X . I . 2 . . . j- 



» L'expression (1), qui peut s'écrire^ '-^izi ? résulte de (3), 



a fortiori, en négligeant dans le dénominateur certains facteurs qu'on peut 

 se proposer de lui restituer. La restitution la plus immédiate est celle de 

 M. Weill [loc. cit.); on peut même donner explicitement le facteur complé- 

 mentaire susceptible d'être introduit en dénominateur. Il suffit pour cela 

 de remarquer que l'expression (3) est un multiple de n quel que soit x. 

 Cette assertion se vérifiera en faisant x = i, 2, 3, ..., et l'on trouvera, par 



