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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les réseaux conjugués de courbes 

 orthogonales et isothermes. Note de M. Demartres. 



« I. Une surface étant, divisée en carrés par les courbes u = const., 

 e = const., nous dirons que ces courbes forment un réseau conjugué s'd 

 existe une même relation, constante sur toute la surface, entre leurs cour- 

 bures géodésiques - , — • L'élément linéaire de la surface, dans un pareil 

 système de coordonnées, est le suivant 



(0 as — (A« + B(' + C) ! ' 



(2) A'm + B'v -f-C' = o, 



A, B, C étant trois fonctions d'un paramètre t, satisfaisant à la condi- 

 tion (2), où les accents représentent des dérivées. La variable l pouvant 

 être choisie comme on voudra, il n'y a ici, en réalité, que deux fonctions 

 arbitraires. On a d'ailleurs les trois formules suivantes, pour déterminer 



les courbures — > — et la courbure totale ^-^- 



f 1 _ (A' i +B ,! )(AH+Bi' + C) + (A Î +B ! )(A I '« + B , '(' + C) 



W -r^ 2 ~~ a'b + b'p + c 



la dernière pouvant être, au besoin, rendue homogène en vertu de l'équa- 

 tion (2). 



« IL On peut se proposer des questions de nature très diverse, au sujet 

 des réseaux conjugués; chercher, par exemple, tous les réseaux appar- 

 tenant à une classe spéciale de surfaces, ou encore se demander sur 

 quelles surfaces des courbes remarquables, telles que les lignes de cour- 

 bure, formeront un réseau conjugué. 



» On peut aussi se donner a priori une loi simple relative aux courbures 

 géodésiques, et déterminer les surfaces et les réseaux correspondants. Si, 

 par exemple, on veut que ces courbures conservent un rapport constant, 

 on est conduit immédiatement au théorème suivant : 



» Pour qu'une surface soit de révolution, il faut et il suffit quelle soit 



