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divisée en carrés par deux familles de lignes dont les courbures soient dans un 

 rapport constant; toute surface de révolution admet une infinité de pareils 

 systèmes, les courbes qui les composent sont des loxodromies. 



» L'alysséide est caractérisée par le fait que, dans chaque reseau, chacune 

 des deux courbes géodésiques, séparément, reste constante. 



» Il est clair que les surfaces applicables sur les surfaces de révolution 

 peuvent admettre d'autres réseaux conjugués correspondant à une autre 

 relation entre les courbures; nous laisserons de côté, pour le moment, 

 cette question, qui donne lieu à d'assez longs développements. 



» III. Il y aurait intérêt à connaître tous les réseaux conjugués appar- 

 tenant aux surfaces de courbure totale constante, et cette recherche paraît 

 présenter peu de difficulté. En effet, la relation (4) fournit alors entre u, v 

 une relation linéaire qui, en raison de la condition (2), doit se réduire à 

 une identité ; en écrivant qu'il en est ainsi, on est conduit à deux équa- 

 tions linéaires du second ordre qui permettent de déterminer les fonc- 

 tions A, B, C. Une fois ces fonctions connues, on peut obtenir les courbes 

 conjuguées de la manière suivante. 



» Supposons (pie l'on ait rapporté la surface à un système de coordonnées 

 isothermes (x, y), en sorte (pie l'on ait 



ds- =f 2 (du- -+- dv- ) — M- {dx- -+- dy' 1 ). 



» On sait que x + iy sera alors une certaine fonction de u -\- iv, en sorte 

 que l'on aura 



;* + i!> = <pO-MV). 



» Or, les courbures géodésiques des quatre lignes coordonnées et la 

 fonction cp satisfont à l'équation 



< 5 > Ai - i) = fër£j + M (s - h) '<" + "' '■ 



» Dans le cas particulier que nous considérons, une fois connues les 

 fonctions A, B, G, on aura/, — , —, et par suite cette équation (5) déter- 

 minera la fonction 9, qui, à son tour, donnera x et y en fonction de u, v. 



» Si l'on applique cette méthode au cas du plan, ou des surfaces déve- 

 loppâmes, le dernier terme de (5) disparaît, les calculs s'achèvent aisément 

 et l'on obtient alors quatre systèmes distincts de réseaux conjugués, 

 savoir . 



» i° Les coordonnées cartésiennes | — = — = o I ; 

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 C. H., lyoi, 2' Semestre. (T. CXXXHI, [\' 2.) l' J > 



