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F représente la portion de frontière qui n'est point caractéristique. 

 » III. Supposons quel) soit une intégrale de(i), définie par ses valeurs 

 et celles de sa dérivée conormale 3- sur une frontière F. Soit (L) une 

 ligne arbitraire sur laquelle se croisent deux nappes caractéristiques 

 réelles (C,) et (C,). Sous des conditions faciles à préciser F, (C,) et (C 2 ) 

 détermineront un domaine auquel la formule (B) sera applicable. Prenons 

 pour V une solution de l'adjointe, telle que sur {C,) 



et sur (C 2 ) 



L'existence de la fonction V résulte de ce que l'on peut trouver une inté- 

 grale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre, prenant sur 

 des caractéristiques des valeurs données. Dans ces conditions, la for- 

 mule (B) fournira une relation entre les valeurs prises par la fonction U 



sur la ligne arbitraire (L) et ses valeurs, ainsi que celles de -^j- sur la 



frontière F. On pourrait dire que la relation définit une fonction de ligne. 



» IV. On arrivera à une fonction du point (x ,y e , z ) en considérant 

 un domaine limité par une frontière F sur laquelle on se donne la fonction 

 et sa dérivée conormale et la surface à point singulier de sommet (x ,y , z ). 

 La fonction V devra toujours être une solution de l'adjointe et satisfaire sur 

 la frontière caractéristique à des conditions analogues à celles que nous 

 avons trouvées précédemment. Mais elle devra, en outre, être discontinue 

 sur une variété passant par le point singulier. Cette solution peut être 

 déterminée effectivement pour certaines équations. Il semble difficile d'éta- 

 blir son existence dans le cas général. Toutefois, la proposition suivante 

 permet de simplifier les recherches : 



» On peut toujours effectuer sur les équations une transformation ponctuelle 

 de telle sorte que la surface à point singulier de sommes x , y , z se réduise 

 pour ce point à la forme 



(.v — .r )- -+- (y — y„)- — (s — z a y — o. 



.» V. En appliquant la formule (B) à un domaine limité exclusivement 



>ar des frontières caractéristiques, on arrive à des équations qui généra- 



