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 ( t, , -,, t 3 ) étant la rotation relative au déplacement (u, v, w). Cette forme 

 d'équations montre que, si les fonctions t,, t 2 , t 3 sont connues, on peut en 

 déduire les fonctions u, v, w en résolvant simplement le problème de 

 Dirichlet. 



» Ceci étant, cherchons à représenter u, v, w par des séries procédant 

 suivant les puissances entières positives de E, et introduisons des con- 

 stantes analogues à celles de M. Schwarz, savoir : 



„=ffft m t.J*<fydz, 



où b m désigne la dilatation cubique relative au déplacement dont les com- 

 posantes sont les coefficients de \'" dans les séries précédentes. 



» On constate que W m ,„ ne dépend que de la somme m + /;, et, en in- 

 troduisant la notation W m+ „, au lieu de W m „, on établit que les nombres 



w,, w„ .... w„, ... 



sont positifs et forment une suite non croissante dans laquelle le rapport 

 du terme de rang n au précédent ne décroît pas lorsque n croît et tend, 

 pour n infini, vers une limite qui est inférieure ou égale à un; d'où il ré- 

 sulte que les séries qui représentent t,, t 2 , t 3 sont absolument et unifor- 

 mément convergentes dans un cercle ayant pour centre l'origine et passant 

 par le point l— — i, ou contenant ce point à son intérieur; il en est de 

 même pour les séries qui représentent u, v, w et qui vérifient les conditions 

 données. 



» Ce premier résultat établi, donnons à ç des valeurs complexes; les 

 séries qui viennent d'être obtenues pour u, v, w définissent des éléments 

 de fonctions analytiques dont il est possible d'effectuer le prolongement. 

 En effet, soit tout d'abord une valeur réelle a de l pour laquelle l'existence 

 de la solution est démontrée; cherchons les développements de u, v, w 

 suivant les puissances de l — a; par les mêmes raisonnements que précé- 

 demment et par l'introduction de constantes W analogues, on arrive à 

 cette conclusion que les séries définissant w, v, w sont absolument et uni- 

 formément convergentes dans un cercle de centre a qui passe par — i , ou 

 qui contient ce point à son intérieur. Soit ensuite a { une valeur imagi- 

 naire de £; le rayon du cercle de convergence de centre a, est alors au 

 moins égal à la distance du point a, à l'axe des l. 



» La "proposition énoncée résulte évidemment de ce qui précède, si l'on 

 remarque, d'autre part, comme nous avons déjà eu l'occasion de le faire, 

 que, des équations (2;, on conclut que la solution est unique, lorsque l 



