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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur r hermitien. Note de M. Léon Autonne, 

 présentée par M. Jordan. 



« Conservons les définitions et notations de mes Communications pré- 

 cédentes (n mars et 20 mai 1901); abandonnons le terrain quaternaire, 

 n = 4. pour examiner le cas où n est quelconque. 



» Soit H une forme d'Hermile (/, k =j, 2, . . ., n), 



H(«, 7) =2 A/* /./#*» h jh — h kh hjj = rée\, 

 ;* 



telle, par suite, que H' = H. Si l'expression Jl(x, x), toujours réelle, reste 

 aussi constamment positive pour ne s'évanouir qu'avec tous les x à la fois, 

 M. Lœwy (Math. Ann., t. L, p. 56o) dit que H est une forme définie 

 d'Hermite; je dirai plus brièvement que H est un hermitien. Un hermitien 

 fournit la substitution n — aire hermitienne . 



H =h m tf\ 



» Je me propose de donner les propriétés principales de l'hermitien et 

 de l'hermitienne. 



» Nommons unitaire toute substitution n — aire U telle que U'U = E, 

 U' = U -1 . Si l'on effectue le changement de variables marqué par une 

 n — aire R, l'hermitien H devient R'HR, tandis que l'hermitienne devient 

 R-'HR. Le nouvel hermitien ne fournit plus la nouvelle hermitienne, à 

 moins que R ne soit unitaire, ce que l'on supposera toujours. Voici les pro- 

 priétés des H : 



» I. Ua posilijs son déterminant \W\et tous les mineurs principaux de\U\. 



» II. Transformant H par une unitaire convenable, on peut toujours mettre H 

 sous la forme canonique 'LcjX j y j ,c j = positif '; tandis que les substitutions 

 n — aires n'ont pas, en général, de forme canonique, quand l'équation 

 caractéristique a des racines multiples. 



» III. Pour tout exposant entier m positif ou négatif, W" est aussi un 

 hermitien. Il existe toujours aussi un et un seul hermitien A, tel que A m = H. 



j^ 

 On peut écrire A = \JH = H'". 



» IV. H peut se mettre toujours sous la forme H = P'P, P = n — aire quel- 



