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 » Les équations (4), (5)et(6). résolues par rapporta ^f^J '^^^l' 

 V ( -j£ ) conduisent à cette forme simple du ds 2 de la sphère 



(A) "=£?*■'-*£%***+ êh*' 



» La fonction <p satisfait a une équation aux dérivées partielles du 

 quatrième ordre qu'on obtient en exprimant que la courbure totale de la 

 sphère est égale à l'unité. Réciproquement, à toute solution de cette 

 équation il correspond un réseau C, et un seid. 



» On peut, en raisonnant comme il suit, établir la formule (A) plus 

 rapidement que par la méthode indiquée plus haut ( ' ). Tout réseau C, on 

 l'a vu, est la représentation sphérique des asymptotiques d'une surface 



on écrit le ds* de la 



lour retrouver la for- 



1 • - yaap ■ 



mule en question. 



» Deuxième cas. — En procédant comme plus haut, on obtient cette 

 forme définitive du ds 2 de la sphère 



(B) ds 1 = e*(<k. % ■+.»&«*»«$ + <prfp 2 Y 



» L'inconnue <p vérifie une équation du troisième ordre qui s'écrit, avec 

 les notations de Monge, 



» Cette équation admet des solutions fonctions de l'argument ma + e p . 

 » Enfin, il est bien connu que, dans le troisième cas, le ds* de la sphère 



(') Nous avons cependant fait connaître cette méthode, parce qu'elle s'applique à 

 d'autres problèmes et notamment aux suivants : Trouver toutes les équations de la 

 forme 6'ip = Arô admettant quatre solutions dont la somme des carrés égale un, ou 

 bien admettant trois solutions dont la somme des carrés égale une fonction donnée 

 de k. 



