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 prend la forme 



( C ) (/r = r/a 2 -2COS2 co dv. d?> + df- 



<u vérifiant l'équation 



^ = sina,cosco. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales analytiques des équations 

 différentielles du premier ordre et de degré quelconque dans le voisinage 

 de certaines valeurs singulières. Note de M. Henri Dulac, présentée par 

 M. Painlevé. 



« F étant, par exemple, un polynôme, je considère l'équation différen- 

 tielle 



(i) F(x,y,z) = o, « = £=/■ 



» Je me propose d'étudier les intégrales analytiques de cette équation, 

 dans le voisinage d'un système de valeurs x, y, z, qui définissent soit un 

 point ordinaire, soit un point double non uniplanaire de la surface repré- 

 sentée par l'équation (i). 



» Dans le cas d'un point ordinaire, le procédé que j'emploie ne diffère 

 pas, au fond, de la méthode indiquée par M. Poincaré. Ce procédé, dans 

 les cas étudiés d'ordinaire, ne présente aucun avantage, mais il me permet 

 d'étudier des cas de points singuliers dont l'étude complète n'a pas été 

 faite, à ma connaissance, et qui se présentent pour l'équation (i) la plus 

 générale. En effet, d'une part, le raisonnement de Briot et Bouquet dans 

 le cas où, pour x = y = o, n valeurs dey deviennent égales (toute autre 

 particularité étant écartée), ne montre pas rigoureusement qu'à cette 

 valeur de f ne correspond qu'une intégrale tendant vers l'origine. L'équa- 

 tion auxiliaire obtenue présente un point singulier par lequel passent au 

 contraire, en général, une infinité d'intégrales. D'autre part, la discussion 

 faite par M. Fuchs suppose que, tout le long d'une courbe y = g(x), n va- 

 leurs dey se permutent, mais ne s'applique pas aux valeurs isolées de x 

 et de y pour lesquelles n valeurs de y' deviennent égales, tandis que pour 

 toutes les valeurs voisines n' valeurs seulement àey' sont égales (V< «). 



» Dans le cas d'un point double, M. Poincaré ramène l'étude des inté- 

 grales dans le voisinage du point à l'étude des intégrales d'une équation 

 dans le voisinage des divers points d'une conique. Il m'a paru commode, 



