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 soit pour l'étude des intégrales tendant vers le point, soit pour la recherche 

 de leur forme analytique, de ramener dans ce cas, comme dans le cas d'un 

 point ordinaire, l'étude du point à l'étude, dans le voisinage d'un point 

 unique, des intégrales d'une équation du premier degré. 



» La méthode s'appliquerait dans d'autres cas que ceux que j'examine. 

 On peut, par exemple, étudier ainsi les intégrales analytiques de l'équa- 

 tion dont M. Picard {Traité d'Analyse, t. III, p. 2i7etsuiv.) étudie les 

 intégrales réelles. 



» I. Point ordinaire. — Il n'y a lieu d'examiner que les cas où ^- = o. 



On peut toujours supposer x=y = s = o et mettre l'équation sous la 

 forme 



(2) y = aa- ■+- x 2 (a.+ \)-hxy (b +- B) + /"( (3 -f- G), 



le second membre ne contenant que x et y. Ici, comme dans la suite, les 

 petites lettres désignent des constantes et les grandes lettres des fonctions 

 holomorphes s'annulant avec les variables. En différentiant on obtient 



(3) dx\a -+- -2-s.x -+-(i - 1 )y' ■+-.. .| -h i/y'(bx 4- nfiy'" ' -+-. . .)= o. 



Je distingue deux cas, suivant que -7- 4- ; y- est égal à zéro ou différent 

 de zéro. Dans un cas, a = o, dans l'autre, a=f^o. On sera dans l'un ou 

 l'autre cas suivant que les intégrales seront tangentes ou non au contour 

 apparent sur le plan z = o. Si, dans le voisinage de x =y = o, moins de 

 n valeurs dey' deviennent égales, le contour apparent présente, en général, 

 un point de rebroussement : 



» i° a = o. — Les équations (2) et (3) permettent de développer x 

 et y suivant les puissances dey' et d'une constante arbitraire. Cette forme 

 de l'intégrale générale met en évidence qu'il ne passe par l'origine qu'une 

 intégrale. Elle est algébroïde et présente un point singulier, d'ordinaire 

 de rebroussement. On reconnaît l'extension, aux cas signalés au début, 

 des résultats connus. 



» 2 a = o. — L'équation (3) présente un point singulier dont l'étude 

 se fait aisément par les théorèmes obtenus sur les intégrales dans le voisi- 

 nage d'un tel point. Il passe, en général, par l'origine une infinité d'inté- 

 grales de (2). Le seul cas où a = o et où l'équation (3) ne présente pas 

 un point singulier est le cas classique d'une intégrale singulière. 



» II. Point double. — On peut, d'abord, toujours exprimer x, y, z en 



