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fonction holomorphe de deux variables X et Y et d'un radical y/P(X, Y). 

 Le point double n'étant pas uniplanaire, les termes de degré minimum 

 de P seront du second degré. 



» i° Ces termes du second degré ne forment pas un carré. — P peut se 

 mettre sous la forme AB, les termes de degré minimum de A et B étant du 

 premier degré. Si l'on pose A = «*, B = ^ 2 , on a pour x, y, z des dévelop- 

 pements holomorphes et la relation dy — z dx fournit une équation diffé- 

 rentielle entre u et v. 



» 2 Les termes du second degré forment un carré. — C'est le cas d'un 

 point double biplanaire. (Je laisse de côté le sous-cas facile à éturlier où P 

 peut être considéré comme le carré d'une (onction bolomorphe.) Dans ce 

 cas, le point fait partie d'une ligne double. On peut toujours mettre P sous 

 la forme A 2 — 4B", n^3. En posant A = u" -+- v", B — uv, on arrive à la 

 conclusion de i°. 



» La méthode employée s'applique encore dans divers cas où x, y, z 

 peuvent s'exprimer en fonction holomorphe de deux paramètres. Il en çst 

 ainsi, en particulier, lorsque les termes de degré minimum de P sont du 

 troisième degré sans former un cube. 



» Je vais n'examiner ici que le cas général d'un point double, qui don- 

 nera un exemple des circonstances qui se présentent dans beaucoup 

 d'autres cas particuliers. L'équation (1) peut toujours se mettre sous la 

 forme 



(4) y' = a -T- bx •+- cy + . . . ■+- \jooy. 



» En posant 



x = u~, y = y 2 , 

 on a 



u dr = »• du(a -+- bu- -+- cv 2 + . . . uv ). 



» Si l'on a a ^ o, il passe toujours par l'origine deux intégrales holo- 

 morphes de (4) et une infinité d'intégrales non holomorphes. Si a = o, il 

 passe par l'origine une intégrale algébroïde et, en outre, une infinité d'in- 

 tégrales non algébroïdes, à moins qu'une infinité de conditions ne soient 

 satisfaites. Si elles le sont, il existe un développement régulier 



H(u, v) = constante, 



donnant l'intégrale générale de (4). » 



