( a 7 i ) 



MÉCANIQUE. — Sur la déformation infiniment petite d'un corps élastique 

 soumis à des forces données. Note de MM. Eugène et François Cosserat. 



« Dans les indications que nous avons données jusqu'ici sur les 

 recherches que nous avons entreprises à l'égard des intégrales des 

 équations 



(i) A 2 « + ^=X, a 2 ,+ ^=y', A,»-hS£" = Z, 



nous n'avons envisagé que les solutions qui sont données à la surface d'un 

 domaine. 



» Supposons maintenant que l'on donne les composantes de l'effort sur 

 la surface, et désignons par $, ç, X ces composantes divisées par la con- 

 stante y. de Lamé; nous avons 



/ N j ,r \ m au .du di' dw 



(a) #=(Ç_i)/9 + m +l-- hm - + n - 



et deux formules analogues. Les fonctions que nous avons à déterminer sont 

 des fonctions de £, à l'égard desquelles nous pouvons raisonner comme 

 dans le cas des déplacements imposés à la frontière. 



» Une première question se pose. La solution est-elle unique? On sait 

 que Betti et Kirchboff ont démontré que, pour \ > £, la solution est déter- 

 minée à un déplacement d'ensemble infiniment petit près, que l'on peut 

 fixer par certaines conditions géométriques. Mais il reste à examiner si, 

 pour Z<j, il existe trois fonctions u, v, w vérifiant les équations (j), 

 OÙ X = Y = Z = o, annulant les seconds membres des équations (2), et 

 ne se réduisant pas aux composantes d'un déplacement d'ensemble infini- 

 ment petit. 



» Nous répondrons prochainement d'une façon générale à cette ques- 

 tion ; nous n'examinerons aujourd'hui qu'un premier cas particulier, celui 

 où le corps est une sphère de rayon a, ayant pour centre l'origine des 

 coordonnées. 



» Pour un tel corps, la solution des équations (t), où X = Y = Z = o, 

 qui satisfait aux conditions (2), a été donnée pour la première fois par Lamé, 

 et, peu après, d'une manière indépendante, par Lord Kelvin. Nous 



