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donnerons à la solution proposée par ce dernier la forme suivante 



(3) »= + ».e2ct, 



avec des formules analogues pour v, w que l'on obtient en remplaçant 

 u , U, par y , V,, puis par w , W,. 



» Les fonctions u , c , w sont trois fonctions harmoniques qui satisfont 

 aux conditions (2) où l'on fait £ = o, et qui, en outre, sont telles que 



du' dr' <hv' 

 " Or Or ():■ 



u' , c' , w' n étant trois autres fonctions harmoniques qui prennent les valeurs 

 a§, aÇj, a 3e à la surface de la sphère. 



» Formons, d'autre part, le développement de o en série de polynômes 

 sphériques F ( ; les nombres k t et les polynômes U, seront définis par les 

 formules 



2(2t'+ l) dx 



les deux autres séries de polynômes V,, W, se déduisant des U,- par permu- 

 tation circulaire de x, y, s. 



» Ces formules mettent en évidence que u, v, w sont des fonctions uni- 

 formes de l admettant les mêmes points critiques, savoir le point singulier 

 essentiel o et les pôles simples k , k { , k 2 , . . .; les résidus du pôle k t sont les 

 fonctions 4JU/, Â*V,-, h) W, qui jouissent de la propriété d'annuler à la fron- 

 tière les seconds membres des (2) pour \ = k t , et de vérifier pour la même 

 valeur de \ les équations (1), où X == Y = Z = o. 



» Les résultats précédents peuvent s'exprimer autrement. Considérons, 

 en effet, l'effort (S, Ç, x), relatif à un déplacement quelconque u, c, w, 

 sur un élément plan normal à une droite issue de l'origine; nous aurons 



$r= (l- i)*9 + r.^ +xp + Y d 4- + «Jr 



v ^ ' Or Ox - Ox Ox 



et deux formules analogues. MM. Fontaneau et Almansi ont remarqué que 



