( 362 ) 

 et à la frontière trois conditions telles que la suivante 



/ x 1 " A 'a* a* dx 



Y (Mi , dUA s/dW, <HJA~| 



»\JÏ +W) + ?( "5F + "35" jj = °' 



les A, A' étant des constantes données. 



» Dans notre Note du 8 août 1898, nous avons déjà fait connaître que, 

 dans le cas où les constantes h\, h'„, k' 3 sont nulles, les fonctions U,, V,, W, 

 sont des polynômes entiers en x,y, z. 



» II en est de même dans le cas général. 



» Si l'on exprime, en effet, que trois polynômes entiers U,, V,, W, véri- 

 fient les équations (1) et les conditions à la frontière (2), on trouve, pour 

 déterminer les coefficients de ces polynômes, un système d'équations 

 linéaires et homogènes dont le nombre est égal à celui des coefficients; 

 en annulant le déterminant de ce système, on a, pour déterminer le 

 nombre k t qui figure dans les équations (1) et (2), une équation algébrique 

 entière; celte équation admet généralement la racine — 1, comme on devait 

 s'y attendre, et ses autres racines sont réelles et distinctes. On parvient 

 facilement à cette conclusion qu'il existe un système de polynômes du pre- 

 mier degré, trois systèmes de polynômes du deuxième degré, cinq systèmes 

 de polynômes du troisième degré, et, en général, 'in -+- 1 systèmes de poly- 

 nômes de degré n -4- 1 satisfaisant aux conditions indiquées plus haut et 

 correspondant à des nombres^-, différents de — 1. 



» Supposons que les constantes h,, h 2 , h 3 soient nulles, hypothèse qui répond 

 au problème où les efforts sur la frontière de l'ellipsoïde sont donnés. 



» Voici, dans ce cas, les résultats relatifs aux polynômes des trois pre- 

 miers degrés. 



» Le système de polynômes du premier degré est 



U = kx, V = A y, W = kz, 



où A est une constante arbitraire, et la valeur correspondante de k esl^- 



» Les trois systèmes de polynômes du second degré sont donnés respec- 

 tivement par trois systèmes de formules tels que le suivant : 



J3 = A(œ î -y a — z*) f V = zkxy, W = 2A=.r, 



A étant une constante arbitraire ; les valeurs correspondantes de k sont encore 



