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et par deux formules aoalogues pour Vel W obtenues par permutation 

 circulaire de a,, b,,c t , et de x, y, z; a , a,, b { ,c K étant quatre constantes. 

 Il importe de remarquer que, pour la valeur ç = ~ , # existe, dans le cas d'un 

 corps limite par une surface fermée, quelconque, des fondions qui vérifient les 

 équations (i) et qui annulent l'effort sur la frontière; ce sont précisément les 

 fonctions précédentes U, V, W. 



» Ceci nous amène à la notion de l'effort sur la frontière pour lequel la 

 solution des équations de l'élasticité est uniforme avec le pôle unique £ = *-, 

 et se présente sous la forme : 



(3) u = u a +r~jV, v = v -h^jY., w = w +^f- 1 W, 



où U, V, W sont définies par les formules (2) et où u a , v , w sont trois 

 autres fonctions de x, y, z. 



» Nous pouvons énoncer la proposition suivante : 



» F, G, H étant les composantes, divisées par la constante u, de Lamé, d'un 

 tel effort sur l'élément de la frontière dont la normale extérieure a pour direc- 

 tion N et pour cosinus directeurs l, m, //, on a : 



(4) F=-l%+^ + l~+m- J j+n 1)r , 



et deux formules analogues, en désignant par(u , e , w ) un déplacement dont 

 les composantes sont trois fonctions harmoniques et pour lequel la dilatation 

 cubique a la forme simple 



(5) 9 = .'-^ (a a -ha, x-\- b,y +c, z). 



» La plupart des solutions classiques prennent la forme (3). 



» Laissons de côté les solutions relatives à la sphère et à l'enveloppe 

 sphérique qui ont fait l'objet de nos Notes antérieures, et envisageons 

 d'abord les deux problèmes suivants traités par Lamé dans ses Leçons sur 

 la théorie de l'élasticité. 



» i° Soit un corps quelconque soumis, sur toute sa surface, à un effort 

 normal constant. La solution des équations (1) s'obtient en faisant dans 

 les formules (3) 



u = — \cicX, v = — ^a t y, iv„ = — lo z, a, = b { = c, == o. 



» 2 Soit un corps limité par deux cylindres de révolution concentriques 

 de rayons r„, r, et par deux plans perpendiculaires à l'axe de révolution 

 choisi pour axe des z, soumis sur les surfaces cylindriques r , r, à des 



