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variables U et V, de périodes normales (i, o), (o, i), (G, H), (H, G'); 

 désignons par (R) une surface de Rummer correspondante. 



» Supposons maintenant que les deux systèmes soient liés par une 

 transformation du second ordre, c'est-à-dire qu'on puisse faire corres- 

 pondre les variables par des relations linéaires 



(i) U = 1m+-|x{\ V=V« + [i'c, 



de manière qu'à un système (u, v), déterminé aux périodes près, ne réponde 

 qu'un système analogue (U, V), et que, inversement, à un système (U, V) 

 répondent quatre systèmes (h, r). D'après la théorie générale de la transfor- 

 mation, ces quatre systèmes sont de la forme 



(S ( I" A. A' Î + A Sf' + Wl' 

 (a) u, v; u-h-, H ; u-\ . V -\ : u -i , H > 



2 2 2 2 2 2 



(P If 1 ' <& <fl ' 



en désignant par —, — et —, '— deux demi-périodes des fonctions abé- 



liennes en u, v : ces demi-périodes ne sont pas arbitraires; les quatre 

 quantités 



,, N , . /« qf\ /ai n'\ (9 + sl <2'+&.'\ 



( 3 > (°- °) ; (vtp U't) ; (— r-'— r-.) 



constituent ce qu'on nomme un groupe de Gôpel de demi-périodes : géo- 

 métriquement, les quatre points doubles de la surface (k) dont elles sont 

 les arguments forment les sommets d'un tétraèdre qui n'a comme face 

 aucun des seize plans singuliers de {k). 



» D'après cela, à ces quatre points doubles de (k) répond, sur (R), 

 par la transformation (i), un seul et même point, double, U = o, V ■= o, 

 que nous désignerons par A . De même, aux douze autres points doubles 

 de (k) répondent, au total, trois points doubles A,, A 2 et A 3 de (R), dont 

 chacun correspond à quatre points doubles de (k), formant un groupe de 

 Gopel. Les points A , A,, A 2 , A 3 sont eux-mêmes, sur (K), les sommets 

 d'un tétraèdre de Gôpel. 



» Cela posé, les relations (i) établissent entre les deux surfaces de 

 Rummer (R) et (k) une correspondance (i, 4). de sorte que chaque 

 courbe algébrique (racée sur l'une des surfaces a sa correspondante 

 algébrique sur l'autre. Or, si une courbe (c), tracée sur (k), ne se 

 transforme pas en elle-même quand on augmente u, v d'une des trois 

 demi-périodes non nulles du tableau (3), ce qui est le cas pour une courbe 

 prise au hasard, sa correspondante (C), sur (R), sera de même genre et 



