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transformée d'une conique, (V), par la substitution Irrationnelle 





aux points A,, A 2 , A 3 , considérés comme appartenant successivement aux 

 branches de la quartique qui s'y croisent, correspondent les six points où 

 la conique (c) coupe les côtés du triangle de référence : les rapports 

 anharmoniques de ces six points, quatre à quatre, sur (<r), sont donc, 

 d'après ce qui précède, les modules des fonctions abéliennes liées à (k). 



» D'un autre côté, les six plans singuliers de (K.) qui passent par le point 

 double A coupent le plan A,A 2 A 3 suivant six droites tangentes à une 

 même conique (</), et leurs rapports anharmoniques quatre à quatre sont 

 les modules des fonctions abéliennes liées à (K). Il est clair, d'ailleurs, en 

 vertu des propriétés de la surface de Kummer, que ces six droites sont les 

 tangentes qu'on peut mener à la quartique unicursale proposée par ses 

 trois points doubles A ( , A,, A 3 , et l'on vérifie sans difficulté, par des calculs 

 élémentaires, que leurs rapports anharmoniques quatre à quatre, sur (V), 

 sont les mêmes que ceux des six tangentes qu'on peut mener à la 

 conique (a) par A,, A 2 , A 3 . En d'autres termes, on a démontré : 

 i° que les modules des fonctions abéliennes liées à (k) sont les rapports 

 anharmoniques des six points où la conique (c) coupe les côtés du 

 triangle A, A 2 A 3 ; 2° que ceux des fonctions abéliennes liées à (K) sont les 

 rapports anharmoniques des six tangentes menées à la même conique (i) 

 par A, A 2 , A 3 . De là cet énoncé : 



.. Soit donné un radical \J(x — a { )(x — a % ) . . . {x — a 6 ); marquons sur 

 une conique quelconque, (c), les six points qui ont pour arguments unicur- 

 saux les quantités a, , tf 2 , . . . a fl , et joignons-les deux à deux par trois droites, 

 de manière à former un triangle, T, dont chaque côté contienne deux des six 

 points et dont aucun sommet ne soit sur la conique. Il existe quinze pareils 

 triangles. 



» Prenons maintenant le triangle polaire de T par rapport à la conique, et 

 soient b f , b.>, . . . b 6 , les arguments des six points où ses cotés rencontrent cette 

 courbe : les deux radicaux 



v '0 — a t ) . . . (x -a a ) et d(x — b, )...(» — b t ) 



donnent naissance respectivement à deux systèmes de jonctions abéliennes 

 qui sont liés l'un à l'autre par une transformation quadratique. 



