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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la déformation continue des surfaces. 

 Note de M. G. Tzitzéica. 



« Dans un Mémoire intéressant, publié dans les Mathematische An- 

 nalen (Band XLIX, p. 273), M. Stâckel a attiré depuis longtemps l'atten- 

 tion des géomètres sur les surfaces qui admettent un réseau conjugue 

 invariant dans une déformation continue et sur les formules de M. Cos- 

 serat qui s'y rattachent. La Note de M. Demoulin (Comptes rendus, 

 29 juillet 1901) montre que cette classe de surfaces est très étendue et 

 qu'elle est formée de trois familles distinctes, correspondant à certaines 

 formes de l'élément linéaire de la sphère. 



» Je me propose de faire sur ces surfaces quelques remarques, ayant 

 pour but de préciser leur déformation. 



» Considérons d'abord, d'une manière générale, une surface S sur 

 laquelle on a un réseau (y., (s) qui reste le même dans une déformation 

 continue, et soit S (A - ) la surface dépendant du paramètre k, applicable 

 sur S quel que soit k, et ayant avec S le réseau considéré comme réseau 

 conjugué commun. L'élément linéaire de la représentation sphérique de S 

 en coordonnées a, (i, appartient à l'une des trois familles de M. Demoulin ; 

 il en est de même de celui qui correspond à S (A). Or, dans les coefficients 

 de ces éléments linéaires, il y a une certaine ionction qui satisfait à une 

 équation aux dérivées partielles E. Il résulte de là que le passage de S 

 à S(k) nous donne le moyen de passer d'une solution de E à une autre, 

 et réciproquement. Je vais préciser maintenant ces considérations, en 

 donnant les résultats qui concernent les trois familles d'éléments linéaires 

 indiquées par M. Demoulin. 



» I. Prenons d'abord 



dij- = f/or — 2 cos 2o> da. d$ -+- d$- 



où 10 est une solution de 



^ — tt; .= sinwcoso). 



Les surfaces S et S(k) sont ici des surfaces de M. Voss, et le passage 

 de S à S (A) correspond à ce que l'on appelle, dans la Géométrie des surfaces 

 à courbure totale constante, la transformation de Lie. 



