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 un potentiel de la simple couche et telle que l'intégrale If- dl , étendue à 



l'espace tout entier, ait un sens bien déterminé. 



» La démonstration de l'existence des fonctions fondamentales de 

 M. Ed. Le Roy ne dépend que d'un seul théorème, qui s'énonce comme 

 il suit : 



» Soit 



f=*J t + *,/,+ ...+■*//,, 



x s (s = t, 2, . . .,/>) étant des constantes indéterminées, f étant des fondions 

 de la même espèce que f. 



» On peut toujours disposer les oc, de façon que l'on ait 



f> 



■ ds 



> Q 



Q étant un nombre fixe ne dépendant que de (S), L p étant un nombre positif 

 indéfiniment croissant avec l'indice p. 



» Il s'agit de démontrer ce théorème fondamental pour toute surface (S), 

 satisfaisant aux conditions i°, 2°, 3°, de la manière la plus simple, sans 

 employer aucune transformation du genre de M. H. Poincaré. 



» Pour cela, il suffit d'appliquer la même méthode directe que j'ai 

 employée, il y a un an, pour la démonstration du lemme fondamental de 

 mon Mémoire Les Méthodes générales pour résoudre, etc. {Annales de Tou- 

 louse, 2 e série, t. II, p. 216), en remplaçant le potentiel de la simple 

 couche par l'intégrale de M. Zaremba ( '), 



W 



•fr? 



[j. étant un nombre quelconque positif. 



» On aura, si (S) satisfait aux conditions i°, 2 et 3°, 



À\v — (a-W = o à l'intérieur de (S), 



|wkJ/„ 



(') Annales de l'École Normale, t. XV; 1899. 



