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 » Posons 



%L=â (*=i,2,...,«) 



et cherchons le système d'équations différentielles qui admet l'invariant 

 intégral relatif 



» Il faut et il suffit que 



soit la différentielle exacte (55) d'une fonction de t, des q f et des g]. Soit w 

 cette fonction. D'où 



rfNf _ 6>U' 



» Donc f Y 4-7^?/ est un invariant intégral relatif des équations 



d ô — 

 ( 2 ) ^pî = ^i = dt (i=i,a,. ..,»). 



» Donc en prenant les -p et les y, comme variables, le système prendra 

 la forme canonique (transformation Poisson-Hamilton). Cet invariant inté- 

 gral est une généralisation de celui de Helmholtz et de Kelvin. Le procédé 

 que nous venons d'employer permet de trouver les formules du Calcul des 

 variations sans effectuer d'intégrations par parties. 



» Posons 



d\ 



—r- = HP, 

 dt 



où la dérivée est prise conformément aux équations (2) (n°29 de mon 

 Mémoire cité). En procédant ainsi, on pourra déduire d'une façon naturelle 

 l'intégrale complète de l'équation de Jacobi, de l'intégrale générale des 

 équations (2). Cette déduction ne peut se faire que d'une seule manière. 

 » Dans le cas où il v a v variables indépendantes /,, l 2 , ..., t. t , nous 



