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 où p { et p 2 sont des fonctions rationnelles en z et s. Désignons par y, et y., 

 deux intégrales de l'équation (2), partout finies, formant un système fon- 

 damental. 

 » Posons 



(3) d =*/,->./,. 



oùy\ etjj sont les dérivées par rapport à z de y { ely 2 . 

 » Nous aurons, d'après une proposition de Liouville, 



on trouve que le déterminant D est une fonction à multiplicateurs de 

 M. Appell. Nous distinguerons trois types d'équations de première espèce, 

 et nous dirons qu'une équation de la forme (2) est simplement de pre- 

 mière espèce si le déterminant D est une fonction quelconque à multipli- 

 cateurs; elle sera de forme spéciale si D est une fonction spéciale à multi- 

 plicateurs; enfin elle sera de/orme spéciale et réduite si D est la dérivée par 

 rapport à z d'une intégrale abélienne de première espèce. 

 » Nous aurons pour p, les trois formes suivantes : 



P< = ^ lo §"'( s ) + ^ D «,e,- 2 "' 1 (=)> h = ^°ë u '( s )-~ 2u ' t ( z ) 



dans ces formules, u'(z) et u\ (s) sont les dérivées de deux intégrales abé- 

 liennes de première espèce, la première a pour zéros les points 



a, (i = 1, 2, . . ., ip — 2), 



II a _p. est une intégrale normale et abélienne de troisième espèce ayant les 

 points a,, (3,- pour points critiques logarithmiques. 



» Nous remarquons que, dans le cas d'une équation de forme spéciale 

 et réduite,/», est une fonction rationnelle en z seulement. 



» Enfin, la forme générale du second coefficient sera 



dans cette dernière formule, u.,(z) et u' 3 (z) sont encore les dérivées des 

 intégrales abéliennes de première espèce, Z'p, est la dérivée par rapport à z 



