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» Dans cette étude, la variable ce prendra toutes les valeurs positives 

 réelles, valeurs pour lesquelles la fonction réelle <p(a?) sera continue. 



» Supposons que cette équation admet une solution périodique y(.i- ), 

 c'est-à-dire qu'on peut écrire 



Y Ça) = y(b), / (a) = y(b), . - , y w (a) = Y {p) (b). 



» Si l'on pose l> — m = 20, on devra donc avoir 



?(.;• -*- 2Wû>) = ?(#). 



» Cela étant, si la fonction <p(aî) peut prendre, dans un intervalle 2w, 

 d'une manière arbitraire, des valeurs positives et négatives, il est bien dif- 

 ficile de donner des résultats généraux quant à la périodicité des intégrales ; 

 il y en aura quelques-uns dans un Mémoire qui paraîtra prochainement. 

 Mais faisons la supposition suivante : <p (a;) garde, pour les valeurs posi- 

 tives de la variable x, constamment le même signe. Cela étant, le théo- 

 rème que je démontre est que : parmi toutes les équations (i), seules celles 

 de la forme 



(a) ££=±<-")"?<*>r 



peuvent admettre des solutions périodiques; on prendra dans le second 

 membre le signe + ou le signe —, suivant que <p(a?) est >- ou •< que 

 zéro. 



» De plus, si (f(oc) est différente de zéro dans un intervalle 2u, toute 

 intégrale périodique doit s' annuler dans cet intervalle, de sorte qu'on peut se 

 borner, dans la recherche de telles intégrales, à celles pour lesquelles 

 y(a) == y(b) = o. 



» Ainsi, si la fonction <p(a;) est constamment positive, les plus simples 

 équations binômes linéaires à solutions périodiques sont 



d'y , \ 



-^ + 9 t X )y=0, 



que Ton rencontre, respectivement, dans l'étude des vibrations des cordes 

 et des verges élastiques. 



» Que la fonction <p (a.-), constamment positive ou constamment négative, 

 soit périodique ou non, il existe des intégrales des équations (2) non iden- 

 tiquement nul/es et pour lesquelles les éléments y, y', .... y { ' n> s'annulent 



