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 systèmes infinis qui appartiennent aux nombres 2, 3, 6 et 3, 3, 3 ont été 

 déterminés récemment (' ). 



» R. Il est bien connu que 60 et 168 sont les plus petits nombres com- 

 posés qui soient des ordres de groupes simples. M. Burnside a déterminé 

 tous les groupes d'ordre 60 ( 2 ). J'ai examiné tous les groupes possibles 

 d'ordre 168 et j'ai trouvé que le nombre de ces groupes distincts est 57. Il 

 y en a 3 qui sont commutatifs; 3 autres contiennent 8 sous-groupes 

 d'ordre 7. Les deux qu'on peut représenter transitivement entre huit lettres 

 sont bien connus. Le groupe restant qui contient huit sous-groupes d'ordre 7 

 a un sous-groupe invariant d'ordre 3, et, pour cette raison, il est isomorphe 

 au groupe de degré 8 et d'ordre 56. Il contient huit sous-groupes circu- 

 laires d'ordre 21, qui sont transformés exactement comme les sous-groupes 

 d'ordre 7, et son sous-groupe invariant d'ordre 24 est le groupe commu- 

 tatif qui ne contient aucune substitution d'ordre 4- 



» Les 5 1 groupes restants d'ordre 168 sont non commutatifs et contiennent 

 seulement un sous-groupe d'ordre 7. Onze d'entre eux n'ont qu'un seul 

 sous-groupe d'ordre 8 et, par conséquent, ils renferment le produit direct 

 du groupe d'ordre 7 et d'un des groupes d'ordre 8. Cinq de ces onze groupes 

 contiennent sept sous-groupes d'ordre 3, à savoir, les produits directs du 

 groupe non commutatif d'ordre 21 et d'un groupe d'ordre 8: les autres 

 peuvent être divisés en paires contenant respectivement un, quatre et 

 vingt-huit sous-groupes d'ordre 3. 



» Il v a huit groupes d'ordre 24 contenant trois sous-groupes d'ordre 8 ( 3 ). 

 Les produits directs de ces groupes et du groupe d'ordre 7 donnent tous 

 les groupes possibles ayant précisément trois sous-groupes d'ordre 8. 

 Entre ces groupes il s'en trouve seulement un qui ait plus d'un sous- 

 groupe d'ordre 3. Il y a précisément le même nombre de groupes (parmi 

 ceux qui restent) qui contiennent sept sous-groupes d'ordre 8 qu'il y en a 

 qui contiennent vingt et un sous-groupes de cet ordre, à savoir seize. » 



(') Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXXIII, p. 76; 1901.— Anna la of 

 Mathematics. vol. III; 1901. 



(*) Rurnside, Theory of groups of finite order, p. io5; 1897. 

 ( 3 ) Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXVIII, p. 274. 



