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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires de 

 second ordre à coefficients algébriques de deuxième et troisième espèce (' ). 

 Note de M. Paul-J. Suchar, présentée par M. Appel]. 



« Dans une Note présentée à l'Académie (3o septembre 1901), nous 

 avons donné la forme que doivent avoir les coefficients d'une équation 

 différentielle linéaire du second ordre pour qu'elle soit de première 

 espèce. 



» Nous nous proposons, dans cette Note, de donner la forme des coef- 

 ficients pour que l'équation soit de deuxième ou de troisième espèce. 



» Nous supposons encore que la surface de Riemann est hyperelliptique 

 et que le genre correspondant est p. On trouve qu'il existe des équations 

 de seconde espèce ayant un groupe donné ( 2 ) et dont l'intégrale générale 

 n'a qu'un seul pôle sur toute la surface de Riemann et devenant en ce 

 point infini de premier ordre. Ces équations ne peuvent en aucun cas être 

 de forme spéciale ( 3 ). Nous donnons la forme des coefficients dans le cas 

 où le déterminant D ( 4 ) a tous les zéros simples. 



» Nous aurons 



1 = 2/1-2 



dans cette formule, les points «,- sont les zéros de u'(z), les points (3,-, y, , y 2 

 sont les zéros simples de D et enfin le point a est le pôle de l'intégrale 

 générale. Le groupe de l'équation étant donné ainsi que les points a, et a, 

 D aura p zéros arbitraires, les p autres dépendent de tous les points 

 donnés ainsi que du groupe de l'équation. Le second coefficient sera de 

 la forme 



p> = u '( z )Tz % M ' n «<e. 



+ B '(*)^(N 1 n aitTl HrW 1 ii B , Tl + N t ii« l ,)H-c«;(*)«;(*); 



(') Appell, Acta mathematica, t. XIII. 

 {■) lbid., p. 168. 



( 3 ) Comptes rendus, 3o septembre 1901. 

 (*) lbid. 



