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 dans cette formule, a A est un zéro quelconque de u'(z), les N sont des 

 constantes, enfin le reste a la même signification que dans notre première 

 Note. 



» Equations de troisième espèce. — L'intégrale générale d'une pareille 

 équation n'a que des points critiques logarithmiques. On démontre encore 

 qu'il existe deux types d'équations de troisième espèce. Nous appelons 

 l'équation simplement de troisième espèce si, le groupe étant donné, le 

 déterminant D est une fonction quelconque à multiplicateurs. Enfin elle 

 sera de forme spéciale si le déterminant D est une fonction spéciale à 

 multiplicateurs ou bien la dérivée d'une intégrale abélienne de première 

 espèce. 



» Nous allons nous borner à donner la forme des coefficients, de 

 manière à pouvoir comprendre à la fois les deux types. Le coefficient p, a 

 la même forme que dans le cas d'une équation de première espèce, il 

 sera 



i = 2/i-2 



/>< = s lo g"'(=) ■+- ^ 2 n aiPi - iu\ (s). 



» Nous avons supposé que tous les zéros de D sont simples. On aura, 

 pour le second coefficient, 



"Was 2 Min*n-"'(*)2i?7ïr) z h+ c ^(*)«;W; 



le nombre k prend au plus toutes les valeurs de i à ip — 2. La forme que 

 nous avons donnée à p 2 est nécessaire et suffisante pour affirmer que 

 l'équation est de troisième espèce. En effet, la présence des termes de la 

 forme 



nous montre que l'équation déterminante de M. Fuchs correspondant 

 aux points [3 A a des racines égales. Nous remarquons encore que la forme 

 que nous avons donnée aux coefficients p, et /?, convient aussi au cas où 

 l'équation est de forme spéciale; les ip — 1 points (3 se partagent alors en 

 deux groupes de p — 1 points tels que les points du premier groupe sont 

 les superposés des points du second groupe. » 



