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» Lorsque les droites de la congruence sont normales à une surface, 

 cos ? est nul et les équations ci-dessus donnent! = <p(w), ce qui démontre 

 le théorème; celui-ci tombe en défaut lorsque tu est constant. 



« M. Guichard a remarqué que les normales d'une surface minima 

 constituent une congruence de Ribaucour, appartenant à la classe définie 

 plus haut. Je me propose de déterminer, parmi ces congruences de Ribau- 

 cour particulières, toutes celles qui sont formées des normales d'une sur- 

 face. Soit ds 2 = k{du- -+- dv 2 ) le ds 2 de la sphère exprimé en fonction des 

 paramètres de la représentation sphérique des développables de la con- 

 gruence. La fonction h doit satisfaire à l'équation 



< A > (7 -&)>■•*-+{-/ + s)'-— ■ 



où l'on a désigné par /une fonction arbitraire de k. C'est ce qui résulte 

 des développements donnés par M. Cosserat à la page 3o du Mémoire cité 

 en note. 



" Sl ^ ~ IV Iét l uation ( A ) disparaît et l'on retrouve la solution indi- 

 quée par M. Guichard. Pour toute autre détermination de/ l'équation (A) 

 donne h = <p(U + V). Le problème actuel revient donc au suivant : 



» Meure de toutes les manières possibles le ds 2 de la sphère sous la forme 



ds'= <p(U+ Y)(du 2 + dv 2 ), 

 ou sous la forme ( ■ ) 



, 2 ,,, ,/du* dv*\ 



» En exprimant que la courbure totale de ce ds 2 égale un, on trouve 

 ( B ) ^(^)'(U + V) + i(U + V)-f-^ = o. 



» De cette équation on déduit, en dérivant par rapport à u et à v, 



< c > [?(7)T( u + v ) + [7'(/)T( u ^ v '> + (/)"= - 



» Ou bien les équations (B) et (C) sont distinctes, ou bien elles sont 



(') On suppose U et V variables toutes deux. Le cas où l'une de ces fonctions serait 

 constante se traite aisément. 



