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 surfaces je me bornerai à celles qui ont pour équation 

 (i) *«=F(*oO. 



» J'ai été conduit à envisager spécialement ces surfaces, parce que je 

 voulais étudier les variations de diverses intégrales doubles en vue d'ap- 

 plications au développement de la fonction perturbatrice. 



» Je me suis donc proposé de déterminer le groupe fondamental de ces 

 surfaces. 



» Je supposerai que la courbe algébrique 



(o) p (*,.r) = o 



ne présente que des points ordinaires ou des points doubles ordinaires, 

 mais ne possède ni point de rebroussement, ni tangente d'inflexion paral- 

 lèle à l'un des axes, ni tangente en l'un des points doubles parallèle à l'un 

 des axes, ni points triples ou multiples d'ordre supérieur, ni singularités 

 d'ordre plus élevé. 



» Si l'on suppose d'abord que y. au lieu de pouvoir prendre toutes les 

 valeurs complexes, est assujetti à rester sur une courbe fermée donnée, 

 nous obtiendrons une variété qui aura trois et non plus quatre dimensions, 

 et sur laquelle je retiendrai un instant l'attention ; dans certains cas elle est 

 identique, an point de vue de VAnalysis silus, à l'une de celles que j'ai défi- 

 nies dans le Mémoire cité du Journal de l'École Polytechnique, et que j'ap- 

 pelais le sixième exemple. Dans d'autres cas, elle peut être regardée comme 

 une généralisation simple de ce sixième exemple. 



» Venons maintenant à la variété à quatre dimensions définie par l'é- 

 quation (i). Plusieurs cas sont à distinguer: ou bien la courbe (2) ne 

 présente pas de point double, ni, par conséquent, la surface (1) de point 

 conique. 



» Alors le groupe cherché se réduit à une substitution unique, la substi- 

 tution identique. On doit rapprocher ce résultat de celui qu'a obtenu 

 M. Picard et d'après lequel tous les cycles à une dimension tracés sur la 

 surface algébrique la plus générale de son degré peuvent être réduits à 

 un point. 



» Si la courbe (2) a un point double, une distinction est encore néces- 

 saire ; on peut faire, en effet, deux conventions opposées au sujet du point 

 conique de la variété ( 1 ). On peut le regarder comme un point ordinaire 

 de cette variété, ou bien convenir qu'on n'a pas le droit de franchir ce 

 point singulier. 



