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» I! est visible que l'une de ces conditions, rapprochée des équations ( I . 

 entraîne l'autre. On arrive donc à ce théorème : 



« Si l'une des familles d'un réseau conjugué persistant est plane, l'autre 

 famille i esl aussi. 



» Et l'on est ramené à chercher les surfaces qui admettent un réseau 

 conjugué formé de deux familles de courbes planes, qui restent planes 

 dans une série de déformations. 



3. Les surfaces qui présentent un réseau conjugué enlièrement composé 

 de courbes planes sont (Darboux, Théorie d< ; surfaces, Livre 11, Chap. 1 ) les 

 enveloppes des plans 



(P) (U,+ V,j.r + |L V. À )j i U : , , V,) s + U, + V 4 = o. 



» Il faut établir entre les (J,, fonctions de //, et les V,-, fonctions de v, les 

 conditions qui assurent la persistance du réseau (m, c). Or, pour qu'un 

 réseau («, v) tracé sur une surface soit un réseau conjugué persistant, il 

 faut et il suffit, comme on sait, que les cosinus directeurs de la normale à 

 cette surface, multipliés par un même facteur \/\J (u) -+- V(p), deviennent 

 des solutions d'une même équation de La place 8^„ — p9. Ici, ces cosinus, 

 une fois multipliés par 



N /(U 1 + V l ) 2 -r-(U 2 -t-V 2 ) 2 + (U, + V 3 ) 2 , 



satisfont à l'équation Hl .= o. Comme, d'ailleurs, il n'est pas possible 

 que les cosinus de la normale à une surface (non développable), multi- 

 pliés par deux fadeurs différents, satisfassent à deux équations différentes 

 du type considéré, on a nécessairement 



(U,+V ( ) 2 +(U, :-\,r l ;)4 -V : ,) 2 ^U + V. 



» Cette équation est bien connue; elle admet seulement deux solutions, 

 qui ne diffèrent que par les rôles échangés des deux variables u et v. Voici 

 l'une d'elles : 



V 8 = mV, + nV 2 . U, = -mU 3 , U 2 =-/*U 3 ; 



les fonctions V,, V 2 , U 3 restent arbitraires, ainsi que les constantes m 

 et n. On obtiendra les surfaces correspondantes en cherchant l'enveloppe 

 du plan 



(P)' (V,- m\J 3 )x-^(V.,-n\j 3 )j>+( l n.\ T l -hnV,-h\J. J )z + l,-i-V i = o. 

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