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degrés p„, /-, , r.,, ■ • ., r„. ..., q t , q., </„ . . respectivement, avec r, < y,, 



/:,<(/.,, . . ., r n <Cq, les zéros de Q,, Q, s . ., Q, ayant leurs 



/nodules limités. Sic esJ solution d'une équation,, différentielle rationnelle en x, 



Y, '-T-, •■• , -r^r i 0/J rfoi/ (H'0«>, dès (lue II es/ assez grand, 

 J dx d.r- J 



q„+, < : < <h + ?« + ••• - in » ra + '«-i - '\ 



(ra entier qui ne dépend que de k et des exposants dey, \ v '' dans 



l'équation en question, o', entier Jim ). 



» Eu particulier : 



» o ne peut être solution d'une pareille équation quand q n = n ! ( i -+- r, ) 

 avec o < r, = f . /„ = « ! r,' ( limr,' = o pour n — -x, ). 



» On voit ainsi qu'il existe une infinité île fonctions, parmi lesquelles 

 au moins les fonctions algébriques et celles définies par les équations dilié- 

 rentielles rationnelles, qui, développées sons la forme (i) aux environs du 

 pointa' =00 (' ), ne peuvent être telles que le terme de rang/i -f- i dans(r) 

 soit, par rapport au terme précédent, d'un ordre de petitesse supérieur :'i 

 une certaine limite fonction des degrés des dénominateurs des termes pré- 

 cédents, quels que soient Q,, O,, ..., Q„, . .. C'est là un fait aussi remar- 

 quable que la propriété correspondante pour les nombres algébriques ou 

 certains nombres transcendants (*'). 



» Théorème II. — La fraction continue illimitée 



R.-r- 



où R , K,, R 2 , . . . sont des polynômes en x de degrés r Q , /,, r.,, .... res- 

 pectivement, ne peut être solution d'une équation différentielle rationnelle 

 d'ordre k que si 



q n + r n= (q* -+- q-i ■+- • • • q l b> "> ra > 



ct étant un entier positif qui ne dépend que de k et des exposants de y, 

 y, . . ., y [li] dans l'équation en question, et q it q 2 , . . ., q n , . . . les degrés des 

 dénominateurs des réduites successives. 



(') Des raisonnements analogues sont applicables au\ environ- d'un poii 

 conque se = x . 



( s ) Voir noire Communication du 1 5 avril 1901. 



C. R., 1901. a* Semestre. (T CXXXIII. N' 20.) 1°'> 



