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 où nous avons posé 



» (le déterminant fonclionnel sera essentiellement supposé différent de 

 zéro en chaque point racine commune. 



» Cela étant, je démontre que le nombre [ de racines communes aux 

 équations (i) contenues dans l'aire A est donné par l'intégrale 



(2) r =7 i;lim /'/'« ; ' A|+A ;,-+-- —^1± Àdxdy 



■' ; =" J J K /[/«h-^+M. - t »D)»] j [/■ H--? 2 4-OJ. -s'D)*] 1 » 



» Dans le cas de n = i , As nombre exact de racines communes aux deux 

 équations 



») = <>. 



comprises entre a el b sera donné par l'intégrale 



w ' = - r. ï- . f" [ "-&#%■* '- - "-&-%;"] •<■'■■ 



» Remarquons que dans les égalités (2) et (3), pour 1 = o, tous les élé- 

 ments de l'intégrale sont nuls, sauf ceux qui correspondent aux racines 

 communes et qui se présentent sous forme indéterminée. 



» Si dans (2) et (3 ) on fait respectivement 6 — o el <p = o, on retrouve 

 les intégrales de M. Picard ('). Mais la démonstration du théorème 

 énoncé plus haut permet d'identifier deux quelconques des fonctions/,, 

 f,, . ... f n+{ et dans ce cas aussi l'on doit retrouver ces intégrales. Véri- 

 fions-le pour le cas de n = 1. Faisons donc dans (2)/= <p; il viendra pour 

 le nombre I de racines simples ( 2 ) : 



1 - ^./'' 2 W f'Aj r r * r+l/-*fr ] d *' 



ou encore 



I = — — lira / d\ arctang( s 2 J . + 1 ) -t- arc tangf e- ^ - 1 ) , 



(') Voir Picard, Mémoire sur les racines, etc. (Journal de Math.; [892 |. 

 ( 2 ) Pour n i= 1 aussi on suppose/' (x) yéo aux points racines. 



