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 connexion linéaire, certains résultats méritent cependant d'être signalés. 

 Je reprends la question avec quelques détails en me plaçant dans un cas 

 simple, quoique suffisamment général. 



» 1 . Nous partons d'une surface de degré m, placée arbitrairement par 

 rapport aux axes 



f(œ,y,z)=o, 



avec des singularités ordinaires, c'est-à-dire une ligne double avec points 

 triples, et nous considérons l'intégrale double 



(,) Ç Ç Q(œ,y,z)dxdy 



relative à cette surface, où Q désigne un polynôme en x, y, z, s'annulant 

 sur la courbe double. Si nous envisageons la courbe entre x et z 



(2) f' x ^ z ) = 0i 



les périodes de l'intégrale 



/ 3 v r q(x,y,z)dx 



eront des fonctions de y. Parmi ces périodes, se trouvent les périodes 

 logarithmiques correspondant aux divers points à l'infini delà courbe (2); 

 on montre facilement que ces périodes sont des polvnomes en y. 



» Outre ces périodes logarithmiques, l'intégrale (3) a ip périodes cy- 

 cliques, en désignant par p le genre de la courbe (2) pour y arbitraire. 

 Ces périodes cycliques ont, en général, comme pôle le pointj = x; si les 

 résidus correspondants sont tous nuls, on peut montrer que l'intégrale 

 double (1) est de seconde espèce (' ). 



» 2. Je vais me placer maintenant, uniquement d'ailleurs pour abréger 

 l'exposition, dans l'hypothèse où l'intégrale (3) est une intégrale de 

 seconde espèce de la courbe (2); nous sommes alors dans le cas où, pour 

 un autre objet, nous nous sommes trouvé précédemment (t. I, p. g4). Les 

 ip périodes cycliques de l'intégrale (3) satisfont à une équation diffé- 

 rentielle linéaire, à coefficients rationnels en y, que nous avons appelée E, 



(') Je profite de l'occasion pour compléter un point de ma théorie des intégrales 

 doubles de seconde espèce. J'indique (Fonctions algébriques, t. II, p. 191) que le 

 nombre des conditions pour qu'une intégrale double (1) soit de seconde espèce 

 est 2/> -h m — 1; en fait, m — 1 des conditions sont remplies d'elles-mêmes. 



