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 on voit facilement que l'on aura entre P et les A une relation homogène et 

 linéaire à coefficients entiers. On en conclut que le nombre des périodes 

 considérées de l'intégrale double est au plus égal à 



» On doit maintenant se demander si tous les A sont des périodes de 

 l'intégrale double, lien est bien ainsi effectivement; on peut en effet con- 

 struire un certain continuum fermé à deux dimensions conduisant à la 

 période A. La démonstration de ce point un peu délicat nous entraînerait 

 ici trop loin. 



» Nous avons donc trouvé N — 2/> périodes pour l'intégrale double (i), 

 et donné le moyen de les calculer: p désigne le genre d'une section plane 

 quelconque de la surface et N représente la classe de la surface. Je ne puis 

 affirmer que ces périodes soient distinctes, même pour une intégrale (i) 

 prise arbitrairement. Il y a des cas où une réduction parait certaine. Suppo- 

 sons l'intégrale double de seconde espèce; toutes les solutions de l'équa- 

 tion E ont leurs résidus nuls pour le point à l'infini. En écrivant qu'il en 

 est ainsi, on obtient ip relations entre les A; si elles sont distinctes, le 

 nombre trouvé de périodes de l'intégrale double se trouvera abaissé de 

 ip unités. C'est là une question sur laquelleje me réserve de revenir. 



» Dans ce qui précède, nous avons raisonné, comme nous le faisons 

 habituellement dans l'étude des faits généraux de la théorie des fonctions 

 algébriques, sur la surface ramenée à n'avoir que des singularités ordi- 

 naires. Dans certains cas, il pourra être plus commode d'employer immé- 

 diatement la surface donnée. Tel serait le cas d'une surface dont l'équa- 

 tion est 



les considérations que nous venons de développer s'y appliquent aisément. 

 » 5. On doit remarquer maintenant qu'il n'est pas certain que toutes les 

 périodes de l'intégrale double (i) rentrent dans le type précédent. Il y a 

 lieu de faire une étude approfondie de la nature des cycles à deux dimen- 

 sions susceptibles de donner des périodes. J'ai, à cet égard, appelé récem- 

 ment l'attention sur une circonstance curieuse qui montre la complexité 

 de la question ('). D'autre part, comme je l'ai fait remarquer antérieure- 



(') Sur les résidus et les périodes des intégrales doubles de fonctions ration- 

 nelles ( Comptes rendus, 22 avril 1901). 



