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ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les singularités essentielles des équations 

 différentielles. Note de M. Paul Painlevé. 



« Considérons un syslème d'équations différentielles algébriques réelles 

 (d'ordre n), système qu'il est toujours possible de mettre sous la forme 



' V " " 4 -* ; P. (*,*,,..., *,„.,) I'- 1,2,. ..,(/? + !)] 



S(x,x a^t-i) = o; 



P„ +1 désignent des polynômes en x, x t , . . ., x n+t , à coefficients 

 réels, et l'équation S = o définit (dans l'espace x, x K , ...,x n+l ) une sur- 

 face algébrique réelle à (n + i) dimensions (<). Nous donnerons à cette 

 surface le nom de surface S, et nous regarderons tout système de valeurs 

 réelles (x,x x n+ , ), vérifiant S = o, comme les coordonnées rectan- 

 gulaires d'un point réel M de S. Il est loisible d'admettre que, pour une 

 valeur finie quelconque de x, tous les points de S sont à distance finie ( 2 ). 



» Nous désignerons yn point singulier (x,x,,..., x n+ , ) du système (i ) 

 tout point réel M de S où les polynômes P , P p„ +( son t tous nuls. 



» Ceci posé, soit (x,, x° «: + ,)ou M un point réel de S. Si, en M , 



P n'est pas nul, il ne passe par le point M qu'une seule courbe intégrale, 

 et la solution correspondante de (i), soit x t = y, (x), . .., x nhl = <p n+1 (x), 

 est holomorphe pour x = x . 



» Si, au point M„ P est nul, sans que tous les P, le soient, la courbe 

 intégrale passant par M est encore unique, régulière, mais sa tangente en 

 M„ est perpendiculaire à l'axe Ox. 



» Enfin si, au point M , les P , P , P n+1 sont tous nuls [point singu- 



(') Une des équations (i) est conséquence des autres et de la relation S = o 



(») S'il en est autrement, soit [x,x l= ^(x), ..., *» M =Ç 1W ( JP )] > un point de 



1 espace (x. x u . . . , x„ +1 ) non situé sur S; il suffit d'effectuer sur les variables 



x t , . . . , x„ +i la transformation par inversion 



x gf-Si( g) 



