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 lier de (i)], les courbes intégrales passant par M peuvent être en nombre 

 fini ou infini, peuvent admettre M comme point transcendant, etc. 

 L'étude d'une telle singularité a été faite par M. Poincaré dans le cas le 

 plus simple, qu'on peut appeler le plus général, et étendu à des cas plus 

 compliqués par d'autres géomètres, MM. Picard, Bendixson, Horn, 

 Dulac et d'autres. Pour les équations réelles du premier ordre, la dis- 

 cussion est presque entièrement élucidée, grâce aux travaux de M. Ben- 

 dixson (équations résolues en y') et de M. Dulac (équations de degré 

 quelconque en y'). 



» Ces préliminaires établis, proposons-nous d'étudier (dans tout le 

 champ réel) la solution x\(x), . . ., x^_ { (x) de (i), définie par les condi- 

 tions initiales régulières (x°, x", , ..,x n n+l ). Les fonctions x, = ^,(x), .. ., 

 x n+ , — <p„ +1 (x) restent régulières tant que x, croissant à partir de a; , ne 

 dépasse pas une certaine valeur a; — a. Quand x tend vers a, trois circon- 

 stances peuvent se présenter : 



» Premier cas. — Quand x tend vers a, les fonctions x,, ..., x n + l 

 tendent vers des valeurs a,, ..., a n , telles que P (a, a,, ...,a n+t ) soit 

 nul, sans que tous les Pi le soient. Il n'y a dans ce cas aucune difficulté à 

 poursuivre l'étude de la courbe intégrale au delà (') du point régulier 

 (a, a,, ...,«„_,_,); la valeur x = a est une singularité algébrique de la 

 solution considérée. 



» Deuxième cas. — Quand x tend vers a, les fonctions x , x n+l 



tendent vers des valeurs a,, . . . , a n , telles que le point (a, a,, ... , a n+ ,') 

 soit un point singulier de (i) (tous les P, sont nuls en ce point). 



» La valeur x = a peut être une singularité transcendante (mais non 

 essentielle) des fonctions réelles x t (x), .... x n+ , (x). , 



» Troisième cas. — Quand x tend vers a, les fonctions x t , . . . , x n+ , ne 

 tendent pas vers des valeurs déterminées. La valeur x = a est alors une 

 singularité essentielle des fonctions x, (x), ..., x n+l (x). 



» L'existence de singularités essentielles, variables avec la solution con- 

 sidérée, et que rien par suite ne met en évidence sur le système (i), 

 apparaît comme une difficulté presque insurmontable. Il est donc impor- 

 tant de démontrer que, moyennant une transformation algébrique, on peut 

 toujours ramener le système réel (i) à un autre système réel qui ne présente 



(') Il peut arriver que jc rétrograde à partir du point a [Ex. : X{=(x— a) ! J, ou au 

 [Ex, ,, = (,-«)*]. 



contraire continue a croître 



