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plus de singularités essentielles mobiles, et cela sans changer la variable indé- 

 pendante. 



» Tout d'abord, dans les problèmes où la variable indépendante n'est pas 

 indiquée, mais où l'on étudie la forme des courbes intégrales dans l'espace 

 (x, x n . .., x n+{ ), il suffit d'effectuer dans cet espace un changement 

 d'axes quelconque, pour que les solutions a;, (a?), ..., x n+{ (x) ne pré- 

 sentent plus de singularités essentielles, ni fixes ni mobiles (et cela aussi 

 bien dans le champ complexe que dans le champ réel). 



» Mais dans les problèmes où la variable indépendante est donnée 

 (comme le temps en Mécanique), on ne peut plus faire usage d'un tel 

 changement de variables. J'ai établi alors le théorème suivant : 



» Théorème. — Si l'on effectue dans le système (i) la transformation 



( 2 ) ^ = ïr=---=^7 = p o( a *^ >*•«-). 



les nouvelles fonctions réelles X,(x), ..., X n+{ (x) (qui vérifient un nouveau 

 système différentiel algébrique réel) ne sauraient admettre comme singularités 

 essentielles que les valeurs fixes x = a qui sont pôles (du premier ordre au 

 moins) des nouveaux coefficients différentiels, quels que soient X,, . . ., X„. 

 Ces valeurs a sont en nombre fini. 



» Extension au champ complexe. — Considérons maintenant les valeurs 

 imaginaires des fondions et de la variable : soient 



x = l -h ir,, x, = E, -+- j'r,, , .... 



En séparant les quantités complexes en quantités réelles et quantités pu- 

 rement imaginaires, on peut remplacer le système (i) par un système réel 

 (soit le système 1) d'équations aux dérivées partielles algébriques, à deux 

 variables indépendantes, d'ordre différentiel égal à in. Une transfor- 

 mation analogue (2) fait disparaître les singularités essentielles mobiles de 

 ce système, et, si on laisse de côté un nombre fini de valeurs fixes x = a, 

 on est ramené à étudier, dans le voisinage de toute valeur x = b = fi ■+■ iv 

 de a;, les solutions 1,(1, ■/]), . . ., f) n +,(l, ri) d'un système différentiel réel 

 qui prennent pour £ = (3, 7) = y, des valeurs déterminées. En particulier, si 

 l'on fait tendre a:- vers b sur un chemin algébrique, le système 1 devient un 

 système d'équations différentielles ordinaires tel que (1), mais d'ordre in. 

 » L'étude des singularités essentielles mobiles (dans le champ complexe) 

 d'un système différentiel (1) est aussi ramenée à l'étude des singularités 



